介绍
贝叶斯定理是用来做什么的？简单说，概率预测：某个条件下，一件事发生的概率是多大？
wiki 把为什么要做这个定理谈的很清楚，是为了覆盖逆概的场景：
在贝叶斯写这篇文章之前，人们已经能够计算“正向概率”，如“假设袋子里面有N个白球，M个黑球，你伸手进去摸一把，摸出黑球的概率是多大”。
而一个自然而然的问题是反过来：“如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个（或好几个）球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的推测”。这个问题，就是所谓的逆概问题。
了解一下公式
事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：
同理可得，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：
很容易推导得到：
假设若P(A)≠0，那么就可以得到用来预测概率的贝叶斯定理了：
这个定理显然是可以推导到多个条件的，比如在2个条件的情况下：
经典案例
信某宗教的人是恐怖分子的概率是多少？
假设 100% 的恐怖分子都相信某宗教，而某人相信某宗教，并不代表此人 100% 是恐怖分子，还需要考虑先验概率，假设全球有 7万 恐怖分子（全球人口 70亿 ），假设全球有 1/3 的人口相信某宗教，那么这个人是恐怖分子的概率是多少？
解：
我们要求解的是这个概率： P（恐怖分子|信某教）
套用公式，得到 ：
P（恐怖分子|信某教）
= P（信某教|恐怖分子） P（恐怖分子） / P（信某教）
= 100% * （7万人/70亿人） / （1/3）
= 0.003%
也即十万分之三的概率。
延展开去，从数学理论上讲，民主党不针对某个信教人群是对的，但是题目中设定 100% 的恐怖分子信某教，这个假设就比较…
检测呈阳性的雇员吸毒概率是多少？
假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为 99% ，即吸毒者每次检测呈阳性 （+） 的概率为 99% 。而不吸毒者每次检测呈阴性 （-） 的概率为 99% 。假设某公司对全体雇员进行吸毒检测，已知 0.5% 的雇员吸毒。请问每位检测结果呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？
解：
我们要求解的是这个概率： P（吸毒|检测呈阳性的雇员）
套用公式，得到 ：
P（吸毒|检测呈阳性雇员）
= P（检测呈阳性雇员|吸毒） P（吸毒） / P（检测呈阳性雇员）
= 99% * 0.5% / [P（检测呈阳性雇员∩吸毒） + P（检测呈阳性∩不吸毒）]
= 99% * 0.5% / [P（检测呈阳性雇员|吸毒） * P（吸毒） + P（检测呈阳性|不吸毒） * P（不吸毒）]
= 99% * 0.5% / [99% * 0.5% + 1% * 99.5%]
= 0.3322
也就是说，尽管吸毒检测的准确率高达 99% ，但贝叶斯定理告诉我们：如果某人检测呈阳性，其吸毒的概率只有大约 33% ，不吸毒的可能性比较大。
不过也要注意，检测的准确率高低，十分影响结果的概率，如果检测精度达到 99.9% ，那么检测呈阳性的雇员吸毒的概率就上升到了 83.39% 。
垃圾邮件的过滤
这是 Paul Graham 在 《黑客与画家》 中提到的办法。这个问题其实可以倒推，我们要求解的是这个概率： P（垃圾邮件|检测到某种特征） 。
这个某种特征可以是 关键词，可以是 时间，可以是 频次，可以是 邮件附件类型 …包括以上各种特征 混合 的特征等等。
我们先用最简单的 关键词 来做推测，根据我个人的经验，一个中国式垃圾邮件很可能会包含两个字：发票 。好，那么我们要求解的一封邮件是不是垃圾邮件的概率就变成 P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词），根据贝叶斯定理
P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词）
= P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（检测到“发票”关键词）
好，这里遇到了一个问题，我们怎么知道垃圾邮件里出现 发票 关键词的概率？
怎么知道在所有邮件里出现 发票 关键词的概率？理论上，除非我们统计所有邮件，否则我们是得不出的。这时候，就得做个妥协，在工程上做个近似，我们自己找到一定数量的真实邮件，并分为两组，一组正常邮件，一组垃圾邮件，然后进行计算，看 发票 这个词，在垃圾邮件中出现的概率是多少，在正常邮件里出现的概率是多少。
显然，这里的训练数量大一些的话，计算得到的概率会更逼近真实值。 Paul Graham 使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各 4000封 。如果某个词只出现在垃圾邮件中， Paul Graham 就假定，它在正常邮件的出现频率是 1% ，反之亦然，这样做是为了避免概率为 0 。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。
这样的话，将公式继续分解为如下：
P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词）
= P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（检测到“发票”关键词）
= P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / [P（检测到“发票”关键词∩垃圾邮件） + P（检测到“发票”关键词∩正常邮件）]
= P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / [P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（垃圾邮件） + P（检测到“发票”关键词|正常邮件） / P（正常邮件）]
就又可以根据训练模型得到的概率，进行初始值计算了。此后，可以通过大量用户将垃圾邮件标注为正常邮件，正常邮件挪到垃圾邮件的动作，进行反复训练纠正，直至逼近一个合理值了。
不过这里还涉及到一个问题，就是单个关键词的概率（单个条件）无论如何再高，这封邮件仍然有可能不是垃圾邮件，所以在此处应用贝叶斯定理时，我们显然要用到多个条件，也就是计算这个概率：
P（垃圾邮件|检测到“A”关键词，检测到“B”关键词，检测到"C"，...）
Paul Graham 的做法是，选出邮件中 P（垃圾邮件|检测到“X”关键词） 最高的 15个词 ，计算它们的联合概率。（如果关键词是第一次出现，Paul Graham 就假定这个值等于 0.4 ，也即认为是negative normal）。