一、特征分解概述

在数学上，本征分解是线性代数的一部分，我们用它来将矩阵分解为其规范形式。在使用特征分解进行因式分解后，我们根据其特征向量和特征值来表示矩阵。需要说明的是，只能使用特征分解来分解方阵。

对应于一个二次方程的矩阵的特征分解可以用来找到这个函数的最小值和最大值。

特征分解是矩阵分解的一种形式。分解矩阵意味着我们要找到一个等于初始矩阵的矩阵乘积。在特征分解的情况下，我们将初始矩阵分解为其特征向量和特征值的乘积。

首先，需要了解矩阵和线性变换之间的联系。以及什么是特征向量和特征值？

机器学习笔记 - 特征向量和特征值_bashendixie5的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/bashendixie5/article/details/124243609

二、特征分解公式

现在我们已经了解了特征向量和特征值是什么，我们可以看到如何使用它来分解矩阵。

1、矩阵的所有特征向量都可以放到一个矩阵中，每一列对应于每个特征向量（就像在 np.linalg.eig(A) 返回的第二个数组中一样）。

2、第一列特征值λ=6，第二列特征值λ=2。

3、特征分解公式：

4、其中是一个包含了所有特征值的对角矩阵。

5、，我们根据和np.linalg.inv(V)函数进行计算。

6、带入方程

7、计算，然后得到。

使用python验证，将证实了我们之前的计算。

lambdas = np.diag([6, 2])
A = V.dot(lambdas).dot(V_inv)
print(A)

三、用于实对称矩阵

在实对称矩阵的情况下，特征分解可以表示为其中Q是以特征向量为列的矩阵，Λ 是diag(λ)。

证明如下：

1、有对称矩阵如下

2、有特征向量如下

3、特征值矩阵如下

4、并

5、

python代码验证

A = np.array([[6, 2], [2, 3]])
eigVals, eigVecs = np.linalg.eig(A)
eigVals = np.diag(eigVals)

print(eigVecs.dot(eigVals).dot(eigVecs.T))

还可以使用TensorFlow库使用特征分解

import numpy as np
import tensorflow as tf

data = np.array([[6.0, 2.0], [2.0, 3.0]])
values, vectors = tf.linalg.eigh(data)
print('eigenvector :',vectors)
print('eigenvalues :',values)

输出如下

eigenvector : tf.Tensor(
[[ 0.4472136  -0.89442719]
 [-0.89442719 -0.4472136 ]], shape=(2, 2), dtype=float64)
eigenvalues : tf.Tensor([2. 7.], shape=(2,), dtype=float64)