认识蚁群算法

好像是看罗胖的罗辑思维，看到过一种说法，越是准入门槛高的，难以取代的行业，所需的工具是越简单的。摄影师需要昂贵的镜头，而画家却只需要简单的纸笔，尽管照片比画逼真得多，但是却无法取代绘画的地位，而且通常优秀的射影作品的价值远远比不上优秀绘画作品的价值。在CS行业中也一样，写代码需要各种IDE，硬件环境，但是算法却早在计算机诞生之前就有了，应该说想要解决问题就会有算法，有了算法才能计算。所以，只会函数调用调参是不够的，要自己写代码，有自己的风格，有自己的想法，自己的算法。我也刚开始学习算法，开始啃《算法导论》，算是转行吧，学习图像处理也需要各种算法，今天就先研究与自己做的图像配准有关的蚁群算法。

很早就宣扬说21世纪是生物科学的世纪，没想到目前确是互联网的世纪。但互联网中确实运用了很多生物的思想。比如大热的神经网络，就是利用加权网络模拟神经和突触。在算法中也一样，遗传（进化）算法借鉴生物进化论，将问题模拟成一个生物进化的过程，通过复制、交叉、突变等操作产生下一代的解。旅行商问题TSP(Travel Salesperson Problem)中通常运用遗传算法求解，这在看算法导论的时候再好好研究。蚁群算法则是模拟蚂蚁觅食的过程，在1991年由意大利学者Marco Dorigo提出。我们就看看这个算法到底是怎么模拟的。

在蚁群算法中，一个关键词是信息素，它是一种激素，蚂蚁找到食物回家时释放关于食物的信息素，在出去找食物时在路径上留下关于家的信息素，浓度随着时间逐渐降低（更新机制）。但信息素有正反馈性，它会吸引附近的蚂蚁来到这条路径（选择机制），从而释放更多的信息素（更新机制）。这个选择的过程称为蚂蚁的自催化行为。值得一提的是对单个蚂蚁来说，是不存在所谓的最优路径的，蚂蚁根据概率随机选择一条路径，但蚁群会互相通信、协同工作（协调机制），会在客观上找到了最优路径，这就是群体智能。为了防止蚂蚁都选择当前信息素浓度最高的路径，只得到局部最优解，总有个别蚂蚁走向其他路径，从而跳出最优解，这就是出错机制。可以通过一个H5实验直观地观察一下，在这里。

以TSP问题为例，对蚁群算法建模。除了城市的数量，蚁群的数量，还有很多数据，这就凸显了数据结构的重要性。

说一下我理解的蚁群算法的整个流程。第一步当然是初始化，对每条边的信息素浓度初始化为常数，信息素改变量初始化为0。然后把蚂蚁分散到各个城市，他们依次开始周游。我们把从当前城市到下一个城市的概率称为转移概率，通过转移概率计算，转移概率综合考虑了信息素的吸引力和对城市间距离的衡量，权重通过、体现。每到过一个城市，会在禁忌表中添加该点，防止重复达到同一个城市。当该蚂蚁完成一次周游，记录这次周游的路径总长度，这里考虑蚂蚁一次周游释放的信息素总量是一定的，所以均匀分布在每次的转移路径中，这部分新增的信息素和之前的信息素残留构成了下次迭代的初始信息素浓度。迭代是指所有的蚂蚁都完成了周游，每次迭代过程中每只蚂蚁计算转移概率时认为信息素浓度暂时不变，只是当所有蚂蚁周游完即下一次迭代开始时才对信息素浓度进行更新，更新时会对各个蚂蚁走过的路径累加计算信息素浓度。这样，当迭代到一定次数，因为某一条路径信息素浓度足够高，会进行收敛，从而找到最优的路径。

从公式中可以得到更加清楚的认识：

$$\Delta \tau _{ij}^k = \frac{Q}{{\sum {{L_k}} }}{L_{ij}}$$     公式1

Q为信息素质量系数，是一个正的常数，表示蚂蚁一次释放的信息素绝对质量。分母表示蚂蚁k在本次周游中所走的路径总长度。Lij表示转移路径ij得到的信息素浓度。

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$${\tau _{ij}}(t + n) = (1 - \rho ) \cdot {\tau _{ij}}(t) + \Delta {\tau _{ij}}$$       公式2

这个是每次迭代时信息素浓度的更新公式。综合考虑了原来的信息素浓度残留和刚才式1求得的新增的信息素浓度。

$$p_{ij}^k = \frac{{{\tau _{ij}}^\alpha \eta _{ij}^\beta }}{{\sum\limits_{j \in \Lambda } {\tau _{ij}^\alpha \eta _{ij}^\beta } }}$$     公式3

公式3是概率转移公式。得到概率之后按照轮盘赌的方式选择下一步的城市。只需要知道轮盘赌是一种随机性的选择方式就可以了当然还是概率大的更容易被选中。之后可以写文章研究一下。

下面是matlab代码：来自https://blog.csdn.net/longxinghaofeng/article/details/77740480

%蚁群算法求解TSP问题的matlab程序
clear all
close all
clc

%初始化蚁群
m=31;%蚁群中蚂蚁的数量，当m接近或等于城市个数n时，本算法可以在最少的迭代次数内找到最优解
C=[1304 2312;3639 1315;4177 2244;3712 1399;3488 1535;3326 1556;3238 1229;4196 1004;
   4312 790;4386 570;3007 1970;2562 1756;2788 1491;2381 1676;1332 695;3715 1678;
   3918 2179;4061 2370;3780 2212;3676 2578;4029 2838;4263 2931;3429 1908;3507 2367;
   3394 2643;3439 3201;2935 3240;3140 3550;2545 2357;2778 2826;2370 2975];%城市的坐标矩阵
Nc_max=200;%最大循环次数，即算法迭代的次数，亦即蚂蚁出动的拨数（每拨蚂蚁的数量当然都是m）
alpha=1;%蚂蚁在运动过程中所积累信息（即信息素）在蚂蚁选择路径时的相对重要程度，alpha过大时，算法迭代到一定代数后将出现停滞现象
beta=5;%启发式因子在蚂蚁选择路径时的相对重要程度
rho=0.5;%0<rho<1,表示路径上信息素的衰减系数（亦称挥发系数、蒸发系数），1-rho表示信息素的持久性系数
Q=100;%蚂蚁释放的信息素量，对本算法的性能影响不大

%变量初始化
n=size(C,1);%表示TSP问题的规模，亦即城市的数量
D=ones(n,n);%表示城市完全地图的赋权邻接矩阵，记录城市之间的距离
for i=1:n
    for j=1:n
        if i<j
            D(i,j)=sqrt((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2);
        end
    D(j,i)=D(i,j);
    end
end
eta=1./D;%启发式因子，这里设为城市之间距离的倒数
pheromone=ones(n,n);%信息素矩阵,这里假设任何两个城市之间路径上的初始信息素都为1
tabu_list=zeros(m,n);%禁忌表，记录蚂蚁已经走过的城市，蚂蚁在本次循环中不能再经过这些城市。当本次循环结束后，禁忌表被用来计算蚂蚁当前所建立的解决方案，即经过的路径和路径的长度
Nc=0;%循环次数计数器
routh_best=zeros(Nc_max,n);%各次循环的最短路径
length_best=ones(Nc_max,1);%各次循环最短路径的长度
length_average=ones(Nc_max,1);%各次循环所有路径的平均长度

while Nc<Nc_max
    %将m只蚂蚁放在n个城市上
    rand_position=[];
    for i=1:ceil(m/n)  %朝正无穷方向取整   蚂蚁数量/城市数量
        rand_position=[rand_position,randperm(n)];
    end
    tabu_list(:,1)=(rand_position(1:m));%将蚂蚁放在城市上之后的禁忌表，第i行表示第i只蚂蚁，第i行第一列元素表示第i只蚂蚁所在的初始城市
    %m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，在本次循环中完成各自的周游

    for j=2:n
        for i=1:m
            city_visited=tabu_list(i,1:(j-1));%已访问的城市
            city_remained=zeros(1,(n-j+1));%待访问的城市
            probability=city_remained;%待访问城市的访问概率
            cr=1;
            %for循环用于求待访问的城市。比如如果城市个数是5，而已访问的城市city_visited=[2 4],则经过此for循环后city_remanied=[1 3 5]
            for k=1:n
                if length(find(city_visited==k))==0
                    city_remained(cr)=k;
                    cr=cr+1;
                end
            end
            %for循环计算待访问城市的访问概率分布，此概率和两个参数有关，一是蚂蚁当前所在城市（即city_visited(end))和待访问城市（即city_remained（k))路径上的信息素，一是这两者之间的启发因子即距离的倒数            
            for k=1:length(city_remained)
                probability(k)=(pheromone(city_visited(end),city_remained(k)))^alpha*(eta(city_visited(end),city_remained(k)))^beta;
            end
            probability=probability/sum(probability);
            %按概率选取下一个要访问的城市
            pcum=cumsum(probability);%返回各列的累加值
            select=find(pcum>=rand);
            to_visit=city_remained(select(1));
            tabu_list(i,j)=to_visit;
        end
    end
    if Nc>0
        tabu_list(1,:)=routh_best(Nc,:);%将上一代的最优路径（最优解）保留下来，保证上一代中的最适应个体的信息不会丢失
    end
    %记录本次循环的最佳路线
    total_length=zeros(m,1);%m只蚂蚁在本次循环中分别所走过的路径长度
    for i=1:m
        r=tabu_list(i,:);%取出第i只蚂蚁在本次循环中所走的路径
        for j=1:(n-1)
            total_length(i)=total_length(i)+D(r(j),r(j+1));%第i只蚂蚁本次循环中从起点城市到终点城市所走过的路径长度
        end
        total_length(i)=total_length(i)+D(r(1),r(n));%最终得到第i只蚂蚁在本次循环中所走过的路径长度
    end
    length_best(Nc+1)=min(total_length);%把m只蚂蚁在本次循环中所走路径长度的最小值作为本次循环中最短路径的长度
    position=find(total_length==length_best(Nc+1));%找到最短路径的位置，即最短路径是第几只蚂蚁或哪几只蚂蚁走出来的
    routh_best(Nc+1,:)=tabu_list(position(1),:);%把第一个走出最短路径的蚂蚁在本次循环中所走的路径作为本次循环中的最优路径
    length_average(Nc+1)=mean(total_length);%计算本次循环中m只蚂蚁所走路径的平均长度
    Nc=Nc+1
    %更新信息素
    delta_pheromone=zeros(n,n);
    for i=1:m
        for j=1:(n-1)
            delta_pheromone(tabu_list(i,j),tabu_list(i,j+1))=delta_pheromone(tabu_list(i,j),tabu_list(i,j+1))+Q/total_length(i);%total_length(i)为第i只蚂蚁在本次循环中所走过的路径长度（蚁周系统区别于蚁密系统和蚁量系统的地方）
        end
        delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))=delta_pheromone(tabu_list(i,n),tabu_list(i,1))+Q/total_length(i);%至此把第i只蚂蚁在本次循环中在所有路径上释放的信息素已经累加上去
    end%至此把m只蚂蚁在本次循环中在所有路径上释放的信息素已经累加上去
    pheromone=(1-rho).*pheromone+delta_pheromone;%本次循环后所有路径上的信息素
    %禁忌表清零，准备下一次循环，蚂蚁在下一次循环中又可以自由地进行选择
    tabu_list=zeros(m,n);
end

%输出结果，绘制图形
position=find(length_best==min(length_best));
shortest_path=routh_best(position(1),:)
shortest_length=length_best(position(1))
%绘制最短路径
figure(1)
set(gcf,'Name','Ant Colony Optimization——Figure of shortest_path','Color','r')
N=length(shortest_path);
scatter(C(:,1),C(:,2),50,'filled');
hold on
plot([C(shortest_path(1),1),C(shortest_path(N),1)],[C(shortest_path(1),2),C(shortest_path(N),2)])
set(gca,'Color','g')
hold on
for i=2:N
    plot([C(shortest_path(i-1),1),C(shortest_path(i),1)],[C(shortest_path(i-1),2),C(shortest_path(i),2)])
    hold on
end
%绘制每次循环最短路径长度和平均路径长度
figure(2)
set(gcf,'Name','Ant Colony Optimization——Figure of length_best and length_average','Color','r')
plot(length_best,'r')
set(gca,'Color','g')
hold on
plot(length_average,'k')

这是结果找到的最佳路线图。原网址的代码写得很好，注释也很详细，就是图的配色有一点辣眼睛。

Reference：

1.https://blog.csdn.net/lzhf1122/article/details/72668977

2.https://blog.csdn.net/zhushuai1221/article/details/51076156 ACO应用、问题、趋势

3.https://blog.csdn.net/wang_Number_1/article/details/52467567

4.https://www.cnblogs.com/Leo_wl/p/5665715.html

5.https://www.cnblogs.com/tao-alex/p/6094483.html  表中的最后一列不理解