一道有趣的最短路 NEERC2017 Journey from Petersburg to Moscow

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题意

求$1$到$n$的最短路，最短路上只计算前$k$大的边。

题解

这道题的操作很骚，算法如下：
遍历每条边$x$，并把图中所有的边的权值都减去该边的权值$x$，如果变成负数，那么就置$0$，并将跑出来的值$dis[n]+k*x$就是这次的答案，对所有的答案取最小值，并且与原始图的$dis[n]$取最小值，得到的结果就是最终答案。

正确性证明：
1. 假设最终的最短路中有大于等于$k$条边，并设第$k$大的边长度为$x$。
那么该路径上所有的边减去$x$，之后跑最短路得到$dis[n]$，那么$dis[n]+k*x$就是该路径的“长度”，就是最终答案，并且这个数一定会出现在比较中。
而对于其他的路径，如果减去的$x$不是该路径的第$k$大的边的时候，该路径的值$dis[n]+k*x$一定不会比该路径的“长度”小，出现在比较中不会对最终答案造成影响。
2. 假设最短路中有小于k条边，那么原图中跑最短路的$dis[n]$一定是最小的。

注意，此题用spfa超时，用dijkstra也有稍微优化一下才行。

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxn = 3007;
vector<int> G[maxn];
typedef long long ll;
typedef pair<ll,int> pii;
const ll inf = 1e18;
int U[maxn],V[maxn];long long W[maxn];
int n,m,k;
int vis[maxn];ll dis[maxn];
#define pr(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl
/*
ll spfa(ll x){
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;
    queue<int> Q;
    vis[1] = 1;
    Q.push(1);
    dis[1] = 0;
    while(!Q.empty()){
        int u = Q.front();Q.pop();
        vis[u] = 0;
        for(auto e : G[u]){
            int v = U[e]^V[e]^u;
            ll w = W[e] - x;
            w = max(0ll,w);
            if(dis[v] > dis[u] + w){
                if(!vis[v]) Q.push(v);
                dis[v] = dis[u] + w;
                vis[v] = 1;
            }
        }
    }
    return dis[n];
}
*/
ll dij(ll x){
    priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> > Q;
    for(int i = 1;i <= n;++i) dis[i] = inf;
    dis[1] = 0;
    Q.push({0,1});
    while(!Q.empty()){
        pii p = Q.top();Q.pop();
        int u = p.second;
        if(p.first > dis[u]) continue;
        for(int e : G[u]){
            int v = u ^ U[e] ^ V[e];
            ll w = W[e] - x;
            w = max(0ll,w);
            if(dis[v] > dis[u] + w){
                dis[v] = dis[u] + w;
                Q.push({dis[v],v});
            }
        }
    }
    return dis[n];
}
int main(){
    cin>>n>>m>>k;
    for(int i = 0;i < m;++i){
        int u,v;long long w;
        scanf("%d %d %lld",&u,&v,&w);
        U[i] = u,V[i] = v,W[i] = w;
        G[u].push_back(i);
        G[v].push_back(i);
    }
    ll ans = dij(0);
    for(int i = 0;i < m;++i){
        ll res = dij(W[i])+k*W[i];
        ans = min(ans,res);
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;   
}