简单理解函数f(x；θ)中分号的含义

注，本文理解可能有不准确甚至有误的地方，仅供参考

我们知道，$f(x)$其实就是一个函数，输入变量值$x$，在经过规则$f$处理后，最终拿到一个结果。

另一种常见的情况是，比如概率分布$P(x)$，其本质上也是一个以$x$为自变量的函数，在变量$X$的值为$x$的情况下，拿到一个结果，这个结果的意义为变量$X$取到$x$的概率。

而$f(x;\theta )$，其实意思就是$f(x)$，只不过强调了下函数的参数为$\theta$。这个$\theta$可以是某个确定的常量，也可以是多个确定常量的总体(比如深度神经网络中的全体可训练参数)。例如：${\theta }^{2}x+2\theta +1$，$\theta =3$，这个函数自变量是$x$，自然可以写成$f(x)$；又因为$x$的系数(参数)是$\theta$(某个已知或未知的确定值)，因此可以表达为$f(x;\theta )$。

根据以上讨论的这些，现在讨论一个比较复杂的情况。比如，$\mathcal{N}\left(x;0,\mathrm{I}\right)$的意思是什么？
我们知道，$\mathcal{N}\left(0,\mathrm{I}\right)$表示标准高斯分布，均值为0，方差为1，其本质上也是一个概率密度函数：$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$。从这里可以发现，一般的函数我们都是强调自变量本身(比如$x$)，而在概率论里面有时候强调的是函数参数本身(比如高斯分布的均值和方差)，而淡化了输入变量(默认为$x$，省略)。因此$\mathcal{N}\left(x;0,\mathrm{I}\right)$相比与$\mathcal{N}\left(0,\mathrm{I}\right)$的区别就在于显式强调了函数的输入为$x$。

最后再放个更复杂的东西：$q\left({\mathbf{x}}_t\mid {\mathbf{x}}_{t-1}\right)=\mathcal{N}\left({\mathbf{x}}_t;\sqrt{1-{\beta }_t}{\mathbf{x}}_{t-1},{\beta }_t\mathrm{I}\right)$。
这个东西分多步看。首先，函数本身是个条件概率分布，$q\left({\mathbf{x}}_t\mid {\mathbf{x}}_{t-1}\right)$表示${\mathbf{x}}_{t-1}$已知的情况下，${\mathbf{x}}_t$的分布(${\mathbf{x}}_t$取各种值的概率)。而后面的这个高斯分布则强调了其输入自变量为${\mathbf{x}}_t$(因为是${\mathbf{x}}_t$的概率密度函数，所以自变量当然是${\mathbf{x}}_t$)，而高斯分布的均值和方差则分别为$\sqrt{1-{\beta }_t}{\mathbf{x}}_{t-1}$和${\beta }_t\mathrm{I}$，与条件分布的条件${\mathbf{x}}_{t-1}$有关。