2022年数学建模国赛（A题/B题/C题）评阅要点

A题 （波浪能最大输出功率设计）评阅要点

B题 无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位）评阅要点

C题 （无人机遂行编队飞行中的纯方位无源定位）评阅要点）评阅要点

附录：微分方程例程（与本文无关）

3.1 例题：求二阶 RLC 振荡电路的数值解

高阶常微分方程，必须做变量替换，化为一阶微分方程组，再用 odeint 求数值解。

零输入响应的 RLC 振荡电路可以由如下的二阶微分方程描述：

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \frac{d^{2}u}{d{t}^2}+\frac{R}{L}\ast \frac{du}{dt}+\frac{1}{LC}\ast u=0\\ & u(0)=U_0\\ & u^{\prime }(0)=0\end{array}\end{array}$$

令 $\alpha =R/2L$、${\omega }_0^2=1/LC$，在零输入响应 $u_s=0$ 时上式可以写成：

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \frac{d^{2}u}{d{t}^2}+2\alpha \frac{du}{dt}+{\omega }_0^{2}u=0\\ & u(0)=U_0\\ & u^{\prime }(0)=0\end{array}\end{array}$$
对二阶微分方程问题，引入变量 $v=du/dt$，通过变量替换就把原方程化为如下的微分方程组：

$$\{\begin{array}{l}\begin{array}{rl}& \frac{du}{dt}=v\\ & \frac{dv}{dt}=-2\alpha v-{\omega }_0^{2}u\\ & u(0)=U_0\\ & v(0)=0\end{array}\end{array}$$

这样就可以用上节求解微分方程组的方法来求解高阶微分方程问题。

3.2 二阶微分方程问题的编程步骤

以RLC 振荡电路为例讲解 scipy.integrate.odeint() 求解高阶常微分方程初值问题的步骤：

1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包；

2. 定义导数函数 deriv(Y, t, a, w)

   注意 odeint() 函数中定义导数函数的标准形式是 $f(y,t)$ ，本问题中 y 表示向量，记为 $Y=[u,v]$

   导数定义函数 deriv(Y, t, a, w) 编程如下，其中 a, w 分别表示方程中的参数 $\alpha 、\omega$：

# 导数函数，求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt

3. 定义初值 $Y_0=[u_0,v_0]$ 和 $Y$ 的定义区间 $[t_0,t]$；

4. 调用 odeint() 求 $Y=[u,v]$ 在定义区间 $[t_0,t]$ 的数值解。

   例程中通过 args=paras 将参数 (a,w) 传递给导数函数 deriv(Y, t, a, w) 。本例要考察不同参数对结果的影响，这种参数传递方法使用非常方便。

3.3 二阶微分方程问题 Python 例程

# 3. 求解二阶微分方程初值问题(scipy.integrate.odeint)
# Second ODE by scipy.integrate.odeint
from scipy.integrate import odeint  # 导入 scipy.integrate 模块
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 导数函数，求 Y=[u,v] 点的导数 dY/dt
def deriv(Y, t, a, w):
    u, v = Y  # Y=[u,v]
    dY_dt = [v, -2*a*v-w*w*u]
    return dY_dt

t = np.arange(0, 20, 0.01)  # 创建时间点 (start,stop,step)
# 设置导数函数中的参数 (a, w)
paras1 = (1, 0.6)  # 过阻尼：a^2 - w^2 > 0
paras2 = (1, 1)  # 临界阻尼：a^2 - w^2 = 0
paras3 = (0.3, 1)  # 欠阻尼：a^2 - w^2 < 0

# 调用ode对进行求解, 用两个不同的初始值 W1、W2 分别求解
Y0 = (1.0, 0.0)  # 定义初值为 Y0=[u0,v0]
Y1 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras1)  # args 设置导数函数的参数
Y2 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras2)  # args 设置导数函数的参数
Y3 = odeint(deriv, Y0, t, args=paras3)  # args 设置导数函数的参数
# W2 = (0.0, 1.01, 0.0)  # 定义初值为 W2
# track2 = odeint(lorenz, W2, t, args=paras)  # 通过 paras 传递导数函数的参数

# 绘图
plt.plot(t, Y1[:, 0], 'r-', label='u1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 0], 'b-', label='u2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 0], 'g-', label='u3(t)')
plt.plot(t, Y1[:, 1], 'r:', label='v1(t)')
plt.plot(t, Y2[:, 1], 'b:', label='v2(t)')
plt.plot(t, Y3[:, 1], 'g:', label='v3(t)')
plt.axis([0, 20, -0.8, 1.2])
plt.legend(loc='best')
plt.title("Second ODE by scipy.integrate.odeint")
plt.show()

3.4 二阶方程问题 Python 例程运行结果

结果讨论：

RLC串联电路是典型的二阶系统，在零输入条件下根据 $\alpha$ 与 $\omega$ 的关系，电路的输出响应存在四种情况：

1. 过阻尼： ${\alpha }^2-{\omega }^2>0$ ，有 2 个不相等的负实数根；
2. 临界阻尼： ${\alpha }^2-{\omega }^2=0$，有 2 个相等的负实数根；
3. 欠阻尼： ${\alpha }^2-{\omega }^2<0$，有一对共轭复数根；
4. 无阻尼：$R=0$，有一对纯虚根。

例程中所选择的 3 组参数分别对应过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的条件，微分方程的数值结果很好地体现了不同情况的相应曲线。