1. 引言
密码学的安全性取决于其底层的数学难题猜想。当今密码学的2大主流数学难题为：
- 整数因式分解难题
- 离散对数难题
而目前已知的经典算法破解这些难题需要指数级时间，Shor Sho94 Algorithms for quantum computation: Discrete logarithms and factoring 中证明了可 以量子多项式时间 来破解这些难题。这就意味着，在量子计算机领域，当今大多数密码学算法都将被破解。虽然还不清楚量子计算机何时会成为现实，但最近在这一领域取得了重大进展，人们普遍认为，迫切需要开发针对量子计算机的安全密码系统。为此，NIST（National Institute of Standards and Technology），在2016年启动了一个后量子加密项目（post-quantumcryptography project），该项目旨在征求、评估和标准化一个或多个抗量子公钥密码算法。
本文既不关注构建量子计算机的进展，也不关注经典计算机与量子计算机的差异。本文重点关注量子困难的数学难题猜想，并讨论量子密码学的某些应用。
2. 后量子密码学的方向
根据后量子密码学底层的数学难题，可将后量子密码学主要分为：
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1）基于Lattice的密码学：作为后量子密码学候选者，基于Lattice的密码学是最受欢迎的一个。所谓lattice（格），是指具有 n n n维空间的一组点组成的周期性结构。格无处不在，存在于 从晶体到成堆的水果，再到古代伊斯兰艺术，从拉格朗日、明可夫斯基和高斯等古代数学家到现代计算机科学家，对格进行了广泛的研究。格可以某basis来表示，基于basis生成点，已知某basis，最基本的问题在于找到相应格内的最小非零点。最短向量难题（SVP，shortest vector problem）为经典难题，与后面看到的许多其它难题有关。
目前还没有性能明显优于经典算法的有效的量子算法能够解决lattice难题。事实上，量子计算机的唯一优势是适度的通用加速。
格密码学还有其它优势，如：- 其算法简单、高效、可高度并行化
- 具有a surprising connection between average case and worst case hardness特性，这个特性很有吸引力。密码学是基于average case难题的，即意味着随机选中的难题实例将很难被破解。而复杂性理论则通常研究的是worst case的hardness，即很难找到并破解某个难题实例。Ajtai Ajt96 . Generating hard instances of lattice problems (extended abstract) 论文中指出，若相关lattice难题在worst case情况下难破解，则其在average case下也是难破解的。
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2）多变量多项式密码学
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3）基于编码的密码学
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4）基于Hash的密码学