【数论】乘法逆元

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Definition

　　在等式乘法中，有，同样在同余问题中，有ax≡1(mod p)，其中p∈{素数}，则称x为a在mod p域下的逆。

　　　对于单个式子逆元的求法，显然可以通过解同余方程

ax≡1(mod p)　　　　①

求得，注意p必须为素数，否则a在mod p域下无意义。即：可以使用解①式求得a在mod p域下的逆，但是不能使用其他求逆元的方法求解①式，因为①式不保证p属于{素数}。

Examples

　　lg P1082 同余方程

Description

　　求关于 xx 的同余方程 ax≡1(modb) 的最小正整数解。

Input

　　一行，包含两个正整数 a,b ，用一个空格隔开。

Output

　　一个正整数 x0​ ，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

Sample Input

3 10

Sample Output

7

　　　注意：本题可以在b为素数时求解a的逆，但是在b不为素数时的解不是a的逆元。仅仅是方程ax≡1(Mod b)的解。

Solution

　　　　　　由ax≡1(Mod b)　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　　　移项可得，ax-1≡0(Mod b)　　　　　　　　　　　　②

　　　　　　根据同余的定义即得，求解②式即为求解不定方程ax-1=by，即求解ax-by=1的x的最小整数解。

　　　　　　求解后，注意若(a,b)<0，x取相反数，并不断+b成为正数

Code

#include<cstdio> 

long long int a,b,ans;

inline void exgcd(long long int &x,long long int &y,long long int a,long long int b) {
    if(!b) {
        x=1;y=0;ans=a;
        return;
    }
    long long int x1,y1;
    exgcd(x1,y1,b,a%b);
    x=y1;
    y=x1-(a/b)*y1;
    return;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    b*=-1;
    long long int x,y;
    exgcd(x,y,a,b);
    b*=-1;
    if(ans<0)    x=-x;
    while(x<=0)    x+=b;
    printf("%lld\n",x);
}