数学问题-标量三重积&向量三重积

作者：翟天保Steven
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说明

       近期项目中有涉及到向量运算的公式，其中有一个内容是向量三重积，即：

       过去的基础知识有些遗忘，特此以本篇文章进行一轮回顾。

       本文主要针对标量三重积和向量三重积，进行特性说明和公式推导，以加深记忆和理解。

标量三重积

定义：

       标量三重积是将三个向量中的某一个，与另两个向量叉积所得到的新向量，进行点积操作，这样结果就是一个标量，相当于两个向量点积。

       设a、b、c是三个向量，则标量三重积可表示为：。

特性1：

       假设a=a1i+a2j+a3k，b=b1i+b2j+b3k，c=c1i+c2j+c3k，其中i、j、k是笛卡尔坐标系的三个轴正方向的单位向量。则有：

证明1：

       向量叉乘可表示为行列式形态，对行列式进行拆解，因为i和i两个向量方向一致，所以点积为1，而i、j、k之间两两垂直，点积为0，不难得到结论。

       

特性2：

       由行列式的性质，我们可知，当顺序不变，改变abc的位置也不会影响标量三重积的结果，如：

证明2：

       以为例：

       

       注意行列式中的正负号问题，b1的位置代数余子式是-1，b2的位置代数余子式是+1。

特性3：

       标量三重积的变换式：

       上述式子根据特性2变换，注意，方向相反，参考右手法则。

特性4：

       标量三重积中任意两个向量相等，则标量三重积等于0。

       假如a和b相等，则a叉乘b就为0,0点积任何数都为0。

表示形式：

       常用括号来表示标量三重积：

       

几何意义：

       几何上，由三个向量表示的平行六面体的体积，等于三个向量的标量三重积：

       

向量三重积

定义：

       向量三重积是三个向量中的某一个，与另两个向量叉积所得到的新向量，进行叉积操作，这样结果还是一个向量。

       设a、b、c是三个向量，则向量三重积可表示为：。

特性：

       对任意向量a、b、c，有：

       许多人为了方便记忆该公式，用BAC-CAB（BACK-CAB，后面的出租车）来表示它，死背不如理解，接下来进行公式推导。

证明：

       向量三重积得到的结果也是向量，向量有xyz三个分量，我们先分析x分量，假设，则有：

       x分量相当于将i的余子式提取出来，也就是右下角的那部分，同理，M的各个分量也是如此，则公式表示为：

        同理可得y和z分量：

 

        所以，不难得出：

另类证明：

       对而言，将得到b向量和c向量所在平面的法向量n，n与a叉积所得向量必处于b和c所在平面，则可表示为：

       此时的a向量与其也是垂直关系，点积则有：

       若要等式恒成立，又考虑到p和q是常数，则p必然等于a和c的点积，q必然等于a和b的点积的负数，则有：

       以上就是本文关于标量三重积和向量三重积相关知识的说明。

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