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1概论
并查集是一种十分精巧且实用的树形数据结构，它主要处理一些不相交集合的合并与查询问题。
- 不相交集合：即两集合交集为空。集合（1，2，3）与集合（4，5，6）不相交；
- 合并：将两不相交集合合并为一个集合。集合被合并为（1，2，3，4，5，6）
- 查询：查找此元素所处集合以及代表，可用于判断两元素是否同属一个集合
每个集合里有很多元素，我们选取其中一个元素作为此集合的代表。
- 我们不关心这个集合中具体包含了哪些元素；
- 我们不关心选哪个元素作为代表；
- 我们关心的是，给定一个元素，可以很快找到这个元素所在集合的代表；
- 我们关心的是，给定两个元素，判断他们是否处于同一个集合，如果不是，可以将两元素分别所处集合进行合并。
我们为什么关心这些，不关心那些呢？
因为这就是并查集的精妙之处，它可以解决很多实际问题。比如下面两道题：
我们以第二题为例，可以看出：只有两人之间（A与B）知道彼此是朋友，A不知道B与其他人的关系，B也不知道A与其他人的关系，甚至他们也不知道可能拥有共同的朋友C。题目假设朋友的朋友就是自己的朋友，相当于这群人是一伙的。现在，我想知道哪些人是一伙的。并查集就能轻松解决这个问题。
2.树的表现形式
并查集的实现原理也比较简单，就是用树来表示一个集合，树的每个结点就是集合的一个元素，根节点就是集合的代表。
例如上图的两棵树，就对应的两个集合。我们继续用“朋友”的例子进行说明：刚才的朋友还知道彼此是朋友。而并查集实现时，就最多只知道自己的一个朋友，且不能是彼此知道。例如：D知道他的朋友是B，但B不知道D，只知道他的朋友是A。
以第一个集合为例：
- D知道他的朋友为B，E知道他的朋友也为B，但D、E互相不认识；
- B知道他的朋友为A，C知道他的朋友也为A，但B、C互相不认识，同时B也不知他还有朋友D、E；
- A作为这个集合的代表，只知道自己，不知道他“下面”的朋友们。
尽管A~E是一伙的，他们却最多知道自己的一个朋友？那怎样才能让两人相见时，知道彼此是不是一伙的呢？
答案是：查询
除了代表（根节点），每个人都知道自己的一个朋友，那我们就可以让自己的朋友去问他的朋友，直到自己朋友的朋友...的朋友是这个集合的代表。由于代表（根节点）只有一个，而两人都知道自己和同一个代表是一伙的，那显然两人也是一伙的。这也就是查询的逻辑。
- 例1：D和C他们是一伙的吗？我们不知道，于是D问他的朋友B，B不是代表，B又去问他的朋友A，A是代表，好了，不用问了；C问他的朋友A，A是代表，不用问了。最终的代表都是A，显然，D和C是一伙的。
- 例2：E和H他们是一伙的吗？我们也不知道，于是E问他的朋友B，B不是代表，B又去问他的朋友A，A是代表，不用再问了；H问他的朋友G，G不是代表，G问他的朋友F，F是代表，不用再问了。显然，最后的代表不一样，他们不是一伙的。
现在又有个问题，E和H原本不是一伙的，但现在他们交朋友了，根据自己朋友的朋友都是朋友的逻辑，那显然上面两伙人就是一伙人了。这时，他们只要选择一个代表作为他们整体的代表就行了。这种情况叫什么呢？
答案是：合并（两集合合并为一个集合）
他们合并方式可以有很多种，比如让第二伙人的代表F与E交朋友（E作为F的父节点），也可以让F直接和第一伙的代表A交朋友（A作为F的父节点）。
他们怎么交朋友，当然无所谓。但它作为数据结构，会影响到我们算法（特别是查询）的效率，所以怎么交朋友其实是有考究的。显然第二种就比第一种好。因为用第二种方法，H、G、F等找到所在集合代表的速度就更快。
在实现的过程中，我们就希望提高算法的效率，所以就需要路径压缩。
3.代码实现
在讲清楚逻辑后，我们就需要看看代码怎么实现了。并查集虽然是树形结构，但他只用数组就可以实现。
3.1创立集合
现在，假设使用一个足够长的数组来存储树结点，那么创立集合就是构造如下森林，其中每个元素都是一个单元素集合，即父节点为自身。
void makeSet(int size)
{
for (int i = 1; i <= size; i++)
{
//各自为各自的代表
uset[i] = i;
}
}即:uset[1]=1,uset[2]=2,uset[3]=3,uset[4]=4,uset[5]=5,uset[6]=6。这意味着，uset[i]的朋友（父节点）是i自己。
3.2合并
例如，合并(1,2,3,4)，合并(5,6)，分别以1和5作为代表
void unite(int x, int y)
{
//先找相对应的代表
int x = find(x);
int y = find(y);
if (x == y)
{
return;
}
uset[x] = y;
}
- 合并2和1：分别找到自己的代表，都是自己2和1，显然2!=1，则uset[2]=1，这意味着，uset[2]的朋友是1；
- 合并3和2：分别找到自己的代表，都是自己3和2，显然3!=2，则uset[3]=2，这意味着3的朋友是2；
- 合并4和3：分别找到自己的代表，都是自己4和3，显然4!=3，则uset[4]=3，这意味着4的朋友是3；
这样（1，2，3，4）合并完成，此时可以发现它是一棵斜树。
同理，合并（5，6）就不再赘述。
现在，我们假设再合并（4,6）。
合并6和4：分别找到自己的代表5和1，显然5！=1，则uset[5]=1，这意味着5的朋友是3（1作为5的父节点）。
当然，以上既可以是uset[x]=y，也可以是uset[y]=x。只要他们每次坚持一样的规则就行了，我们并不关注谁是父结点，谁是最后的根结点（代表）。
3.3查询
在上面的合并代码中，出现了find(x)，他其实就是查找x的代表是谁。
查询采用递归的思想，直到代表是自己（访问到根结点），否则就一直找朋友的朋友...find(uset[i])。
int find(int i)
{
if (i == uset[i])
{
return i;
}
return find(uset[i]);
}3.4路径压缩
在3.2中，如果采用此方法，最后就会成为一棵斜树。那么在查询时所耗费的时间就变多了，那有没有办法减少所用时间呢？
第一个方法：查找时优化
在每次查找时，令查找路径上的每个结点都指向根结点。
原先，4找代表1需要3次，现在只需要1次啦！
int find(int i)
{
if (i == uset[i])
{
return i;
}
return uset[i] = find(uset[i]);//在第一次查找的时候 将结点直接连到跟
}
- 4找代表：代表不是自己，就一直找到根结点，并将根结点1作为4的父节点（直接朋友）
- 3找代表：代表不是自己，就一直找到根结点，并将根结点1作为3的父节点（直接朋友）
- 2找代表：代表是根结点了，不用改变
- 1找代表：代表是根结点了，不用改变
第二个方法：合并时优化（加权标记法）
我们回忆一下3.2中的合并，无论如何，我们都坚持着一个原则：uset[x]=y，即始终是前面那个数x作为孩子结点，后面那个数y作为x的父节点，最后合并成为了一棵斜树。
那如果我们加入一个判断呢？
如果x作为父节点更好，就让x当父亲，否则，就让y当父亲（结点）。
判断的依据是什么呢？
此时，我们要给每个结点加一个属性，俗称权值，即此结点的高度。
例如合并x和y
- 若R[x]>R[y]，则uset[y]=x;
- 若R[x]<R[y]，则uset[x]=y;
- 若R[x]==R[y]，则都可以。
当合并1和5时，由于R[1]>R[5]，则uset[5]=1，让5的父节点为1。否则，就会让树的高度增加，查询效率就降低了。
根据以上信息可以得到：让权值更大的结点作父亲。
void unite(int x, int y)
{
//先找相对应的代表
int x = find(x);
int y = find(y);
if (x == y)
{
return;
}
//判断两棵树的高度 在决定谁为子树
if (rank[x] < rank[y])
{
uset[x] = y;
}
else
{
uset[y] = x;
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[x]++;
}
}当然，如果两结点权值相同，谁做父节点都可以，但此时，作父节点的那个结点权值就要增加1。
4.完整代码
这里只给出了模板，就没有写主函数啦。做题时只需套用模板即可。
4.1优化前
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXSIZE 100
int uset[MAXSIZE];//定义一个足够长的数组
//用下标来表示结点
/*
构造并查集
int size 有多少个节点
*/
void makeSet(int size)
{
for (int i = 1; i < size; i++)
{
//各自为各自的代表
uset[i] = i;
}
}
/*
找到元素所在的集合的代表 如果位于同一集合
*/
int find(int i)
{
if (i == uset[i])
{
return i;
}
return find(uset[i]);
}
void unite(int x, int y)
{
//先找相对应的代表
int x = find(x);
int y = find(y);
if (x == y)
{
return;
}
uset[x] = y;
}4.2优化后
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAXSIZE 100
/*
因为在特殊情况下 这棵树可能是一个长长的树链 设链的最后一个节点为x
每次执行find 相当于遍历整个链条
只需要把便利过的结点都改成跟的子节点 查询就会快很多
*/
int uset[MAXSIZE];//定义一个足够长的数组 每个结点
int rank[MAXSIZE];//树的高度
//用下标来表示结点
/*
构造并查集
int size 有多少个节点
*/
void makeSet(int size)
{
for (int i = 1; i <= size; i++)
{
//各自为各自的代表
uset[i] = i;
//树的高度
rank[i] = 0;
}
}
/*
找到元素所在的集合的代表 如果位于同一集合
查找元素在哪个集合
*/
int find(int i)
{
if (i == uset[i])
{
return i;
}
return uset[i] = find(uset[i]);//在第一次查找的时候 将结点直接连到跟
}
void unite(int x, int y)
{
//先找相对应的代表
int x = find(x);
int y = find(y);
if (x == y)
{
return;
}
//判断两棵树的高度 在决定谁为子树
if (rank[x] < rank[y])
{
uset[x] = y;
}
else
{
uset[y] = x;
if (rank[x] == rank[y])
{
rank[x]++;
}
}
}