第十四章: 傅里叶变换
前置知识补充，参考博文：傅里叶分析之掐死教程（完整版）更新于2014.06.06 - 知乎
这篇博文写得非常好！先把博文理解透了，再看本笔记。
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在图像处理过程中，傅里叶变换就是将图像分解成正弦分量和余弦分量两个部分，就是将图像从空间域转换到频率域。
数字图像经过傅里叶变换后，得到的频域值是复数，所以显示傅里叶变换的结果要用实数图像(real image)+虚数图像(complex image)的形式，
或者是幅度图像(magnitude image)+相位图像(phase image)的形式。 -
幅度图像已经包含了原图像中我们所需要的大部分信息，所以在图像处理过程中，通常我们仅使用幅度图像。
但是如果我们想先在频域内对图像进行处理，再通过逆傅里叶变换得到修改后的空域图像，就必须得同时保存幅度图像和相位图像。 -
对图像进行傅里叶变换后，我们得到的是图像中的低频信息和高频信息。
低频信息对应的是图像内变化缓慢的灰度分量。高频信息对应图像内变化越来越块的灰度分量，是由灰度的尖锐过渡造成的。
例如，一幅大草原中有一头狮子的图像，低频信息就对应着颜色趋于一致的草原的细节信息，高频信息则对应着狮子的轮廓等各种边缘及噪声信息。 -
傅里叶变换就是将图像从空域转换到频域，目的是在频域内实现对图像内特定对象的处理，然后再对经过处理的频域图像进行逆傅里叶变换得到空域图像。
傅里叶变换在图像处理领域有着非常关键的作用，可以实现图像增强、图像去噪、边缘检测、特征提取、图像压缩和加密等操作。
一、用Numpy实现傅里叶变换
1、傅里叶变换
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傅里叶变换函数：f = np.fft.fft2(img)
img：原始图像，必须是灰度图像！！
f：函数的返回值，是一个复数数组complex ndarray。这个返回对象就是图像img的频谱信息，也是一个频谱图像，也叫频域图像。 -
将频谱图像中的零频率分量移动到频谱图像的中心位置：fshift = np.fft.fftshift(f)
f：上面傅里叶变换函数的返回值。
fshift：函数的返回值，也还是一个复数数组，就是把零频率分量移动到图像的中心位置，这样方便观察傅里叶变换后频谱中的零频率。 -
显示频谱图像：magnitude_spectrum(新像素值) = 20 x np.log(np.abs(fshift)) , 然后再plt.imshow(magnitude_spectrum)
2、逆傅里叶变换
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将频谱图像中的零频率分量移动到原位，原位就是频谱图像的左上角。
ishift = np.fft.ifftshift(原始频谱)
ishift就是调整会原位后的频谱图像
不管是原始频谱图像还是调整后的频谱图像都是复数数组。 -
逆傅里叶变换：iimg = np.fft.ifft2(ishift)
ishift是频域数据，就是上面函数的返回值
iimg：是空域信息，但还是一个复数数组，需要将信息调整到[0,256]灰度空间内 -
显示逆傅里叶变换图像：img_inv = np.abs(iimg) , 然后再plt.imshow(img_inv)
3、分离高频信号和低频信号
一幅灰度图像经过傅里叶变换、再经过零频率往图像中心移动后，得到的频域图像，这个频域图像的中间部分是低频信号，四周是高频信号。
那我们就可以以频域图像的中心为中心，上下左右各取30个像素点的区域，作为高低频信号的分界线，让这个区域的像素值置为零，就得到低频信号的频域图。反之其他区域置为零，就得到高频信号的频域图。 然后再对高低频域图像进行逆傅里叶变换，就得到原图的高低频分离图像了。
#例14.1 用Numpy实现傅里叶变换、逆变换、分离高频信号和低频信号
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread(r'C:\Users\25584\Desktop\lena.bmp',0) #img.shape返回(512, 512)
#------------------生成并显示频谱图像-------------------------------------
f = np.fft.fft2(img) #生成频谱图像, f是一个浮点型的数组，是一个复数数组。 f.shape返回(512, 512)
fshift = np.fft.fftshift(f) #将零频率分量移动到中心位置， fshift也是一个浮点型的复数数组。fshift.shape返回(512, 512)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift)) #为显示图像，将复数值调到[0,256]的灰度空间内。 magnitude_spectrum.shape返回(512, 512)
magnitude_spectrum1 = 20*np.log(np.abs(f)) #假如不移动零频率分量，看看图像呈现什么样子
#-------------------------实现傅里叶逆变换-----------------------------------
ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将零频率分量还原 (ishift == f).sum() = 512*512
iimg = np.fft.ifft2(ishift) #逆傅里叶变换,变换后的结果还是一个复数数组
img_inv = np.abs(iimg) #将复数数组转换到[0,256]灰度区间内
#---------------------------分离高低频信号-------------------------------
center_row = int(img.shape[1]/2) #生成中心点
center_col = int(img.shape[0]/2)
fshift1 = fshift.copy()
fshift1[center_row-30:center_row+30, center_col-30:center_col+30]=0 #把中间的区域置为0，生成高频信号频域图
ifshift1 = np.fft.ifftshift(fshift1)
iimg = np.fft.ifft2(ifshift1)
img_inv1 = np.abs(iimg)
fshift2 = fshift.copy() #把四周区域都置为0，生成低频信号频域图
fshift2[0:center_row-30]=0
fshift2[center_row+30:]=0
fshift2[:, 0:center_col-30]=0
fshift2[:, center_col+30:]=0
ifshift2 = np.fft.ifftshift(fshift2)
iimg2 = np.fft.ifft2(ifshift2)
img_inv2 = np.abs(iimg2)
#可视化：
plt.figure(figsize=(16,6))
plt.subplot(161), plt.imshow(img, cmap='gray') #原图
plt.subplot(162), plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap='gray') #频域图
plt.subplot(163), plt.imshow(magnitude_spectrum1, cmap='gray') #不移动零频率分量的频域图
plt.subplot(164), plt.imshow(img_inv, cmap='gray') #频域图逆变换的结果
plt.subplot(165), plt.imshow(img_inv1, cmap='gray') #高频信号频域图的逆傅里叶变换结果图，都是边缘，都是像素变换较大的区域。比如脸里面、帽子里面、皮肤里面变化较小的区域都过滤掉了。
plt.subplot(166), plt.imshow(img_inv2, cmap='gray') #低频信号频域图的逆傅里叶变换结果图，边缘模糊了，都是一些变换较缓的区域。和前面图的情况正好相反。
plt.show()
二、用opencv实现傅里叶变换
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1、傅里叶变换函数：f = cv2.dft(img, flags) #对比np:f = np.fft.fft2(img)
img：原始图像，首先要使用np.float32()函数将图像转化为np.float32格式。
flags：转换标识，通常flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT,用来输出一个复数阵列。
函数的返回结果和使用numpy的结果是一样的，但形式不一样，这里返回的值是双通道的，第一个通道是结果的实数部分，第二个通道是结果的虚数部分。
通过这个函数我们就得到一幅图像的频谱信息。但是零频率分量也是不在中心位置，所以要移动零频率分量到中心位置。 -
将频谱图像中的零频率分量移动到频谱图像的中心位置：fshift = np.fft.fftshift(f) #同numpy里面的操作
f：上面函数的返回值。
fshift：函数的返回值，还是一个双通道复数数组。 -
计算频谱信息的幅度：dst = cv2.magnitude(fshift[:,:,0], fshift[:,:,1])
参数1：浮点型x坐标值，也就是实部
参数2：浮点型y坐标值，也就是虚部
dst：返回值，是参数1的平方和参数2的平方的开方。 -
将频谱信息映射到[0,256]之间，方便以图像的形式展示出来：result = 20 x np.log(dst) #numpy里面是20 x np.log(np.abs(fshift))
然后再plt.imshow(result)
- 2、傅里叶逆变换：iimg = cv2.idft(f) f是频域数据
iimg：是空域信息，但仍旧是一个复数数组，需要用函数cv2.magnitude()计算幅度。
说明：如果一幅灰度图像进了傅里叶变换，并且移动了零频率向量，那用上面函数进行逆变换时，要先把零频率向量恢复到原来的位置后，再作为参数传入。
#例14.2 用opencv实现傅里叶变换、逆变换、分离高频信号和低频信号
import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
img = cv2.imread(r'C:\Users\25584\Desktop\lena.bmp',0) #img.shape返回(512, 512)
#----------------进行傅里叶变换-------------------------------------------
f = cv2.dft(np.float32(img), flags=cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #傅里叶变换, f是一个float32类型的array数组，f.shape返回(512, 512, 2)
fshift = np.fft.fftshift(f) #零频率分量向中心移动。 fshift也f数据类型一样，数据结构也一样。
dst = cv2.magnitude(fshift[:,:,0], fshift[:,:,1]) #计算频谱幅度。dst.shape返回(512, 512)
result = 20*np.log(dst) #映射到[0,256]
#----------------进行傅里叶逆变换-----------------------------------------
iimg = cv2.idft(f) #逆变换
dst1 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1]) #计算幅度
#---------------------------分离高低频信号-------------------------------
center_row = int(img.shape[1]/2) #生成中心点
center_col = int(img.shape[0]/2)
fshift1 = fshift.copy()
fshift1[center_row-30:center_row+30, center_col-30:center_col+30,:]=0 #把中间的区域置为0，生成高频信号频域图
ifshift1 = np.fft.ifftshift(fshift1)
iimg = cv2.idft(ifshift1)
img_inv1 = cv2.magnitude(iimg[:,:,0], iimg[:,:,1])
fshift2 = fshift.copy() #把四周区域都置为0，生成低频信号频域图
fshift2[0:center_row-30]=0
fshift2[center_row+30:]=0
fshift2[:, 0:center_col-30]=0
fshift2[:, center_col+30:]=0
ifshift2 = np.fft.ifftshift(fshift2)
iimg2 = cv2.idft(ifshift2)
img_inv2 = cv2.magnitude(iimg2[:,:,0], iimg2[:,:,1])
#可视化：
plt.figure(figsize=(16,6))
plt.subplot(161), plt.imshow(img, cmap='gray') #原图
plt.subplot(162), plt.imshow(result, cmap='gray') #频域图
plt.subplot(163), plt.imshow(dst1, cmap='gray') #逆傅里叶变换后的图像
plt.subplot(164), plt.imshow(img_inv1, cmap='gray') #
plt.subplot(165), plt.imshow(img_inv2, cmap='gray') #
plt.show()