前言

蜻蜓优化算法( Dragonfly algorithm，DA) 是 Seyedali Mirjalili 等于 2016 年提出的一种新型智能优化算法[1]。其主要灵感源于自然界中蜻蜓的静态和动态群集行为，具有寻优能力强等特点。

截止到 2023 年，算法引用趋势

1. 蜻蜓的生物行为

蜻蜓是节肢动物门，昆虫纲，蜻蜓目的统称
该算法源于自然中蜻蜓动态和静态的智能群行为，对蜻蜓的飞行线路、躲避天敌及寻找食物等生活习性进行数学建模。
- 在动态群中，为获得更好的生存环境，大量的蜻蜓集群朝着共同的方向进行远距离迁徙
- 在静态群中，为寻找其他飞行猎物，由小部分蜻蜓组成的各个小组，在较小的范围内来回飞行
在自然界中，蜻蜓的生活习性可以归纳为５类行为方式：分离、结队、结盟、寻找猎物和躲避天敌。

2. 算法优化原理

2.1 分离

分离是每个蜻蜓个体与同类分开的行为。分离行为的数学表达式为：
$s_i = -\sum_{j=1}^{N{'}} (X_j - X)\tag{2-1}$

式中 $N{'}$ 为邻近个体的个数； $S_i$ 为第 $i$ 个蜻蜓同类之间分离行为的位置向量； $X$ 为当前个体所在位置； $X_j$ 相邻个体蜻蜓 $j$ 所处的位置

2.2 结队

结队是指每个蜻蜓个体在飞行时与相邻个体之间的速度匹配。结队行为的数学表达式为：
$A_i = \frac{\sum_{j=1}^{N{'}}V_j}{N{'}}\tag{2-2}$

式中 $A_i$ 为第 $i$ 个蜻蜓个体结队行为的位置向量； $V_j$ 为第 $j$ 个相邻个体的飞行速度

2.3 结盟

结盟指蜻蜓与相邻同类之间彼此聚在一起的集群行为。结盟行为的数学表达式为：
$C_i = \frac{\sum^{N{'}}_{j=1}X_j}{N{'}} - X \tag{2-3}$

式中 $C_i$ 为第 $i$ 个蜻蜓个体结盟行为的位置向量， $X$ 为当前个体的位置信息， $X_j$ 为第 $j$ 个相邻个体的位置

2.4 寻找猎物

寻找猎物指个体为生存搜寻猎物的行为。寻找猎物行为的数学表达式为：
$F_i = X^+ - X\tag{2-4}$
式中 $F_i$ 为第 $i$ 个蜻蜓个体猎食行为的位置向量； $X^+$ 待捕食的猎物所处的位置，即已记录的目标最优解

2.5 躲避天敌

个体出于生存的本能，需时刻警惕天敌的行为。躲避天敌行为的数学表达式为：
$E_i = X^{-} +X \tag{2-5}$
式中 $E_i$ 为第 $i$ 个蜻蜓个体逃避天敌行为的位置向量； $X^-$ 为天敌所处的位置。

2.6 位置更新

步向量表示为蜻蜓的飞行方向以及步长，其数学式为：

$\Delta X_{t+1} = (sS_i + aA_i + cC_i + fF_i + eE_i) + \omega\Delta X_t \tag{2-6}$

式中： $a$ 为结队对齐权重； $c$ 为结盟凝聚权重； $e$ 为天敌权重因子； $f$ 为猎物权重因子； $s$ 为分离权重； $t$ 为当前迭代次数； $\omega$ 为惯性权重

在自然界中，出于生存需要，大部分时间蜻蜓都是运动的，因此所处位置也需实时更新。 更新蜻蜓个体所处位置的向量，数学表达式如下：
$X_{t+1} = X_t + \Delta X_{t+1} \tag{2-7}$

要达到使算法性能进一步得到强化的目的，在同类个体附近无临近解时，通过使用 Lévy 飞行的方法绕搜索空间飞行，进行蜻蜓位置的更新：
$X_{t+1} = X_t + \text{Lévy}{(d)}X_t\tag{2-8}$

其中 $d$ 表示维度。Lévy 函数计算如下：
$\text{Lévy}(x) = 0.01 * \frac{r_1 * \delta}{|r_2|^{\frac{1}{\beta}}}$
$\delta = \left(\frac{\Gamma(1 + \beta) * sin(\frac{\pi \beta}{2})}{\Gamma(\frac{1 + \beta}{2})*\beta * 2^{\frac{\beta - 1}{2}}} \right)^{\frac{1}{\beta}}, \Gamma(x) = (x - 1)!$

式子中： $r_1$ , $r_2$ 为 [0, 1] 范围内的随机数； $\beta$ 为常数

为调节 DA 算法的搜索性能，参数值 ( $a$ 结队对齐权重； $c$ 结盟凝聚权重； $e$ 天敌权重因子； $f$ 猎物权重因子； $s$ 分离权重) 将在寻优过程中自适应调整。

3. 算法流程

注： while 循环下第一句 objective values 就是 fitness values

a.初始化蜻蜓算法参数，包括最大迭代次数、种群数量。
b.初始化蜻蜓在搜索空间中的位置向量 $X$ 和在搜索空间中的方向向量 $Δ X$ 。各只蜻蜓优化参数的组合设为 $\text{(C,g)}$ ，其中 $Ｘ$ 矩阵的第 1、2 行分别存放 $\text{C、g}$ 的值。
c.更新各权重值。根据上述步骤的数据，对相关权重值进行初始化。变量包括邻域半径 $r$ 、惯性权重 $ω$ 、猎物权重因子 $f$ 、对齐权重 $a$ 、凝聚权重 $c$ 、分离权重 $s$ 、天敌权重因子 $e$ 。
d.适应度值的计算,蜻蜓的最大适应度值随着蜻蜓不断地进行操作而实时更新，如果蜻蜓当前的适应度值大于已保存的适应度值，则更新原适应度值，否则原适应度值不变。因此保存的适应度值为最优值，并且保存当前最优值对应的参数组合 $\text{(C,g)}$ 。
e.搜寻邻域中有无蜻蜓个体存在，以欧氏距离作为邻域中有无蜻蜓存在的根据。若存在，用式 (2-6)、(2-7) 更新位置与步长；若不存在，用式 (2-8) 更新位置。
f.用式（2-1）~（2-5）计算蜻蜓的行为度，包括 $f, a, c, s, e$
g.更新 $X$ 与 $Δ X$
h.终止条件的判断。如果满足终止条件，则直接跳出，同时输出最优参数组合 $\text{(C,g)}$ ；如果不满足则迭代次数加１，跳转执行步骤 c。

4. 代码讲解

假设种群中有25只蜻蜓，即 TotalPopulation = 25；UpperBound、LowerBound、dim、fobj 由具体问题给出；设定 Max_iteration=500;

(1) 随机初始化蜻蜓种群 Initialize the dragonflies population $X_i ( i = 1 , 2 , 3... , n )$ 代码如下：

initialization.m

Positions(:,i)=rand(TotalPopulation, 1).*(UpperBound - LowerBound) + LowerBound;

(2) 初始化 $Δ X$ 和 (1) 一样 Initialize step vectors $ΔX_i ( i = 1 , 2 , 3... , n)$

DeltaX(:,i)=rand(TotalPopulation, 1).*(UpperBound - LowerBound) + LowerBound;

(3) While the condition is not satisfied

for iter=1:Max_iteration

(4) 计算每只蜻蜓的适应度 Calculate the objetive values of all dragonflies

DA.m

Fitness(1,i)=fobj(X(:,i)');

(5) 更新猎物 (F) 和天敌 (E) Update the food source and enemy
$Food_i = FoodSourcePosition - IndividualCurrentPosition$
$F_i = X^+ - X\tag{2-4}$
$Enemy_i = EnemyPosition - IndividualCurrentPosition$
$E_i = X^{-} +X \tag{2-5}$

% 蜻蜓的策略应该是 远离天敌，趋向猎物
% Enemy Position就是迭代中适应度最大值坐标
% Food Source Position就是迭代中适应度最小值坐标

% 初始化
Food_fitness=inf;%正无穷
Food_pos=zeros(dim,1);%10*1  0

Enemy_fitness=-inf;%负无穷
Enemy_pos=zeros(dim,1);%10*1  0


% 在迭代中更新猎物和天敌坐标
for i=1:SearchAgents_no %首先计算所有目标值
	Fitness(1,i)=fobj(X(:,i)');
	if Fitness(1,i)<Food_fitness %寻找每次迭代的最小值
		Food_fitness=Fitness(1,i);
		Food_pos=X(:,i);
	end

	if Fitness(1,i)>Enemy_fitness %寻找每次迭代的最大值
		if all(X(:,i)<ub') && all( X(:,i)>lb')
			Enemy_fitness=Fitness(1,i);
			Enemy_pos=X(:,i);
		end
	end
end

(6) 更新参数 Update w, s, a, c, f and e

% w 惯性权重 Inertia weight
w=0.9-iter*((0.9-0.4)/Max_iteration); %不断减小
% s 分离权重 Separation weight
% a 对齐权重 Alignment weight
% c 内聚权重 Cohesion weight
% f 猎物吸引权重 Food attraction weight
% e 天敌规避权重 Enemy distraction weight

my_c=0.1-iter*((0.1-0)/(Max_iteration/2));% 不断减小 初始 0.0996
s=2*rand*my_c; % 分离权重 0.0013
a=2*rand*my_c; % 对齐权重 0.1884
c=2*rand*my_c; % 内聚权重 0.1791
f=2*rand;      % 猎物吸引权重 0.8826
e=my_c;        % 天敌规避权重 0.0996


% Swarm Behavior follows three Important Principles:
% 1. Separation : Individual avoid static collision with neighbor.
% 2. Alignment : Individuals velocity matched with neighbor individuals.
% 3. Cohesion : Individual tendency toward center of the herd.
% 群体行为遵循三个重要原则：
% 1. 分离：个体避免与邻居发生静态碰撞。
% 2. 结盟：个体速度与邻近个体相匹配。
% 3. 成队：个体趋向于群体中心。

(7) 计算参数 Calculate S, C, A, F (3.1)~(3.5)

% Si Separation of the i-th individual
% Eq. (3.1)
        S=zeros(dim,1);
        if neighbours_no>1
            for k=1:neighbours_no
                S=S+(Neighbours_X(:,k)-X(:,i));
            end
            S=-S;
        else
            S=zeros(dim,1);
        end
% Ai Alignment of the i-th individual
% Eq. (3.2)
        if neighbours_no>1
            A=(sum(Neighbours_DeltaX')')/neighbours_no;
        else
            A=DeltaX(:,i);
        end
% Ci Cohesion of the i-th individual
% Eq. (3.3)
        if neighbours_no>1
            C_temp=(sum(Neighbours_X')')/neighbours_no;
        else
            C_temp=X(:,i);
        end
        
        C=C_temp-X(:,i);
% Fi Food source of the i-th individual
% Eq. (3.4)
        Dist2Food=distance(X(:,i),Food_pos(:,1));
        if all(Dist2Food<=r)
            F=Food_pos-X(:,i);
        else
            F=0;
        end
% Ei Enemy position of the i-th individual
% Eq. (3.5)
        Dist2Enemy=distance(X(:,i),Enemy_pos(:,1));
        if all(Dist2Enemy<=r)
            Enemy=Enemy_pos+X(:,i);
        else
            Enemy=zeros(dim,1);
        end

(8) 更新邻居半径 Update neighboring radius

% 迭代次数越大，半径越大，这里代表欧氏距离
r=(ub-lb)/4+((ub-lb)*(iter/Max_iteration)*2);

(9) if 结构如果蜻蜓有同伴 if a dragonfly has at least one neighbouring dragonfly

使用如下两个方程更新 t+1 时刻蜻蜓的速度（velocity）和位置（position）：
$\Delta X_{t+1} = (sS_i + aA_i + cC_i + fF_i + eE_i) + \omega\Delta X_t \tag{2-6}$
$X_{t+1} = X_t + \Delta X_{t+1} \tag{2-7}$

if any(Dist2Food>r) %如果食物位置不是相邻蜻蜓位置
	%当有个体与个体 i 相邻时
	if neighbours_no>1
		for j=1:dim
			DeltaX(j,i)=w*DeltaX(j,i)+rand*A(j,1)+rand*C(j,1)+rand*S(j,1);
			if DeltaX(j,i)>Delta_max(j)
				DeltaX(j,i)=Delta_max(j);
			end
			if DeltaX(j,i)<-Delta_max(j)
				DeltaX(j,i)=-Delta_max(j);
			end
			X(j,i)=X(j,i)+DeltaX(j,i);
		end
	else
		% Eq. (3.8)
		%当没有任何个体与个体 i 相邻时
		X(:,i)=X(:,i)+Levy(dim)'.*X(:,i);
		DeltaX(:,i)=0;
	end
else
	for j=1:dim
		% Eq. (3.6)
		DeltaX(j,i)=(a*A(j,1)+c*C(j,1)+s*S(j,1)+f*F(j,1)+e*Enemy(j,1)) + w*DeltaX(j,i);
		if DeltaX(j,i)>Delta_max(j)
			DeltaX(j,i)=Delta_max(j);
		end
		if DeltaX(j,i)<-Delta_max(j)
			DeltaX(j,i)=-Delta_max(j);
		end
		% Eq. (3.7)
		X(j,i)=X(j,i)+DeltaX(j,i);
	end 
end

(9) else 结构如果蜻蜓没有同伴

只需要更新 t+1 时刻的蜻蜓的位置（position）：
$X_{t+1} = X_t + \text{Lévy}{(d)}X_t\tag{2-8}$

function o=Levy(d)

	beta=3/2;
	%Eq. (3.10)
	sigma=(gamma(1+beta)*sin(pi*beta/2)/(gamma((1+beta)/2)*beta*2^((beta-1)/2)))^(1/beta);
	u=randn(1,d)*sigma;
	v=randn(1,d);
	step=u./abs(v).^(1/beta);

	% Eq. (3.9)
	o=0.01*step;
end

(10) 进行边界检查

Flag4ub=X(:,i)>ub';
Flag4lb=X(:,i)<lb';
%范围大于上限则取上限
%范围小于下限则取下限，
%否则不变
X(:,i)=(X(:,i).*(~(Flag4ub+Flag4lb)))+ub'.*Flag4ub+lb'.*Flag4lb;

5. 代码以及结果

Github 地址： https://github.com/99Young99/Intelligent-optimization-algorithm

Gitee 地址： https://gitee.com/futurelqh/Intelligent-optimization-algorithm

F6:

F20:

Reference

[1] Mirjalili S. Dragonfly algorithm: a new meta-heuristic optimization technique for solving single-objective, discrete, and multi-objective problems[J]. Neural Computing and Applications, 2016, 27(4): 1053-1073.

[2] https://blog.csdn.net/qq_45555061/article/details/125942253

[3] 智能优化算法：蜻蜓优化算法-附代码

【智能优化算法】蜻蜓算法 (Dragonfly algorithm, DA)，2016

前言