Chapter10.3：描述函数法

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博客参考书籍：《MATLAB/Simulink与控制系统仿真》。

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3.描述函数法

3.1 描述函数的基本概念

3.1.1 描述函数的定义

设非线性环节输入输出描述为：
$$y=f(x)$$
当非线性环节的输入信号为正弦信号：
$$x(t)=A\sin \omega t$$
对非线性环节的稳态输出$y(t)$进行谐波分析；

一般情况下，$y(t)$为非正弦的周期信号，可以展开成傅里叶级数：
$$y(t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }(A_n\cos n\omega t+B_n\sin n\omega t)=A_0+\sum _{n=1}^{\infty }{Y}_n\sin (n\omega t+{\phi }_n)$$
其中：$A_0$为直流分量；$Y_n\sin (n\omega t+{\phi }_n)$为第$n$次谐波分量，且有：
$$Y_n=\sqrt{A_n^2+B_n^2},{\phi }_n=\arctan \frac{A_n}{B_n}$$
其中：$A_n、B_n$为傅里叶系数；
$$A_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\cos n\omega t\mathrm{d}(\omega t)，B_n=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin n\omega t\mathrm{d}(\omega t)(n=1,2,\dots ,)$$
直流分量：
$$A_0=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\mathrm{d}(\omega t)$$
若$A_0=0$且当$n>1$时，$Y_n$均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应应仅有基波分量：
$$y(t)\approx A_1\cos \omega t+B_1\sin \omega t=Y_1\sin (\omega t+{\phi }_1)$$
定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中基波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用$N(A)$表示，即：
$$N(A)=|N(A)|{\mathrm{e}}^{j\angle N(A)}=\frac{Y_1}{A}{\mathrm{e}}^{j{\phi }_1}=\frac{B_1+\mathrm{j}{A}_1}{A}$$

3.1.2 非线性系统描述函数法分析的应用条件

1. 非线性系统应简化成一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构图，如下图所示：

   

2. 非线性环节的输入输出特性$y(x)$应是$x$的奇函数，即$f(x)=-f(-x)$，或正弦输入下的输出为$t$的奇对称函数，即$y\left(t+\frac{\pi }{\omega }\right)=-y(t)$，以保证非线性环节的正弦响应不含有常值分量，即$A_0=0$；

3. 系统的线性部分应具有较好的低通滤波性能；线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好；欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左半平面；

3.2 典型非线性特性的描述函数

3.2.1 死区饱和非线性环节

输出$y(t)$的数学表达式为：
$$y(t)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le \omega t\le {\Psi }_1\\ & \\ K(A\sin \omega t-\Delta ),& {\Psi }_1<\omega t\le {\Psi }_2\\ & \\ K(a-\Delta ),& {\Psi }_2<\omega t\le \frac{\pi }{2}\end{array}$$
确定$y(t)$产生不同线性变换的区间端点为：
$${\Psi }_1=\arcsin \frac{\Delta }{A}，{\Psi }_2=\arcsin \frac{a}{A}$$
由于$y(t)$为奇函数，因此：$A_0=0,A_1=0$，又因为$y(t)$为半周期内对称，因此：
$$\begin{array}{rl}{B}_1& =\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }y(t)\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)=\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}y(t)\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)\\ & \\ & =\frac{4}{\pi }\left[{\int }_{{\Psi }_1}^{{\Psi }_2}[K(A\sin \omega t-\Delta )]\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)+{\int }_{{\Psi }_2}^{\frac{\pi }{2}}K(a-\Delta )\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)\right]\\ & \\ & =\frac{2KA}{\pi }\left[\arcsin \frac{a}{A}-\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{a}{A}\right)}^2}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right]\end{array}$$
死区饱和特性的描述函数为：
$$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\arcsin \frac{a}{A}-\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{a}{A}\right)}^2}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right],A\ge a$$
取$\Delta =0$时，饱和特性的描述函数为：
$$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\arcsin \frac{a}{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{a}{A}\right)}^2}\right],A\ge a$$
死区特性描述函数：
$$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{\Delta }{A}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right],A\ge \Delta$$

3.2.2 死区与滞环继电特性非线性环节

输出$y(t)$的数学表达式：
$$y(t)=\{\begin{array}{ll}0,& 0\le \omega t<{\Psi }_1\\ & \\ M,& {\Psi }_1\le \omega t\le {\Psi }_2\\ & \\ 0,& {\Psi }_2<\omega t\le \pi \end{array}$$
区间端点：
$${\Psi }_1=\arcsin \frac{h}{A},{\Psi }_2=\pi -\arcsin \frac{mh}{A}$$
$y(t)$为奇对称函数，而非奇函数，则有：
$$\begin{array}{rl}& A_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }y(t)\cos \omega t\mathrm{d}(\omega t)=\frac{2}{\pi }{\int }_{{\Psi }_1}^{{\Psi }_2}M\cos \omega t\mathrm{d}(\omega t)=\frac{2Mh}{\pi A}(m-1)\\ & \\ & B_1=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }y(t)\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)=\frac{2}{\pi }{\int }_{{\Psi }_1}^{{\Psi }_2}M\sin \omega t\mathrm{d}(\omega t)=\frac{2M}{\pi }\left[\sqrt{1-{\left(\frac{mh}{A}\right)}^2}+\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}\right]\end{array}$$
因此，死区滞环继电特性描述函数为：
$$N(A)=\frac{2M}{\pi A}\left[\sqrt{1-{\left(\frac{mh}{A}\right)}^2}+\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}\right]+\mathrm{j}\frac{2Mh}{\pi A^2}(m-1),A\ge h$$
取$h=0$，理想继电特性描述函数：
$$N(A)=\frac{4M}{\pi A}$$
取$m=1$，死区继电特性描述函数：
$$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2},A\ge h$$
取$m=-1$，滞环继电特性描述函数：
$$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}-\mathrm{j}\frac{4Mh}{\pi A^2},A\ge h$$

3.2.3 典型非线性特性的描述函数

1. 理想继电特性(库仑摩擦)和有死区的继电特性

   

   • 理想继电特性：
     $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}$$

   • 有死区的继电特性：
     $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}，A\ge h$$

2. 有滞环的继电特性和有死区与滞环的继电特性

   

   • 有滞环的继电特性：
     $$N(A)=\frac{4M}{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}-\mathrm{j}\frac{4Mh}{\pi A^2}$$

   • 有死区与滞环的继电特性：
     $$N(A)=\frac{2M}{\pi A}\left[\sqrt{1-{\left(\frac{mh}{A}\right)}^2}+\sqrt{1-{\left(\frac{h}{A}\right)}^2}\right]+\mathrm{j}\frac{2Mh}{\pi A^2}(m-1),A\ge h$$

3. 饱和特性(幅值限制)和有死区的饱和特性

   

   • 饱和特性：
     $$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\arcsin \frac{a}{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{a}{A}\right)}^2}\right],A\ge a$$

   • 有死区的饱和特性：
     $$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\arcsin \frac{a}{A}-\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{a}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{a}{A}\right)}^2}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right],A\ge a$$

4. 死区特性和间隙特性

   

   • 死区特性：
     $$N(A)=\frac{2K}{\pi }\left[\frac{\pi }{2}-\arcsin \frac{\Delta }{A}-\frac{\Delta }{A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2}\right],A\ge \Delta$$

   • 间隙特性：
     $$N(A)=\frac{K}{\pi }\left[\frac{\pi }{2}+\arcsin \left(1-\frac{2b}{A}\right)+2\left(1-\frac{2b}{A}\right)\sqrt{\frac{b}{A}\left(1-\frac{b}{A}\right)}\right]+\mathrm{j}\frac{4Kb}{\pi A}\left(\frac{b}{A}-1\right),A\ge b$$

5. 变增益特性、有死区的线性特性、库仑摩擦加黏性摩擦

   

   • 变增益特性：
     $$N(A)=K_2+\frac{2(K_1-K_2)}{\pi }\left[\arcsin \frac{s}{A}+\frac{s}{A}\sqrt{1-{\left(\frac{s}{A}\right)}^2}\right],A\ge s$$

   • 有死区的线性特性：
     $$N(A)=K-\frac{2K}{\pi }\arcsin \frac{\Delta }{A}+\frac{4M-2K\Delta }{\pi A}\sqrt{1-{\left(\frac{\Delta }{A}\right)}^2},A\ge \Delta$$

   • 库仑摩擦加黏性摩擦：
     $$N(A)=K+\frac{4M}{\pi A}$$

3.3 非线性系统简化

3.3.1 非线性特性的并联

若两个非线性特性输入相同，输出相加、减，则等效非线性为两个非线性特性的叠加，并联等效非线性特性的描述函数为各非线性描述函数的代数和；

3.3.2 非线性特性的串联

当两个非线性环节串联时，采用图解法简化。

参数确定：
$${\Delta }_2=K_1(\Delta -{\Delta }_1)\Rightarrow \Delta ={\Delta }_1+\frac{{\Delta }_2}{K_1}$$

$$a_2=K_1(a-{\Delta }_1)\Rightarrow a=\frac{a_2}{K_1}+{\Delta }_1$$

当$|x|\le \Delta$时，$y(x_1)$特性可知，$y(x)=0$；

当$|x|\ge a$时，$y(x_1)$特性可知，$y(x)=K_2(a_2-{\Delta }_2)$；

当$\Delta <|x|<a$时，$y(x_1)$位于线性区，$y(x)$呈线性，设斜率为$K$，有：
$$y(x)=K(x-\Delta )=K_2(x_1-{\Delta }_2)$$
当$x=a$时，$x_1=a_2$，由于：$x_1={\Delta }_2+K_1(a-\Delta )$，因此：$a-\Delta =\frac{a_2-{\Delta }_2}{K_1}$，因此有：$K=K_1{K}_2$；

两个非线性环节串联，等效特性还取决于前后次序；

3.3.3 线性部分的等效变换

3.4 非线性系统稳定性分析的描述函数法

3.4.1 变增益线性系统的稳定性分析

设$G(s)$的极点均位于$s$的左半平面，即$P=0,G(j\omega )$的奈奎斯特曲线${\Gamma }_G$如上图所示，闭环系统特征方程为：
$$1+KG(\mathrm{j}\omega )=0或G(\mathrm{j}\omega )=-\frac{1}{K}+\mathrm{j}0$$
当${\Gamma }_G$曲线不包围点$(-\frac{1}{K},\mathrm{j}0)$时，即：$Z=P-2N=-2N=0$，系统闭环稳定；

当${\Gamma }_G$曲线包围点$(-\frac{1}{K},\mathrm{j}0)$时，系统不稳定；

当${\Gamma }_G$曲线穿越点$(-\frac{1}{K},\mathrm{j}0)$时，系统临界稳定，将产生等幅振荡；

若设$K$在一定范围内可变，即有：$K_1\le K\le K_2$，则$(-\frac{1}{K},\mathrm{j}0)$为复平面实轴上的一段直线，若${\Gamma }_G$曲线不包围该直线，则系统闭环稳定，当${\Gamma }_G$包围该直线时，则系统闭环不稳定；

3.4.2 应用描述函数分析非线性系统的稳定性

当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为：
$$1+N(A)G(\mathrm{j}\omega )=0\Rightarrow G(\mathrm{j}\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$
称$-\frac{1}{N(A)}$为非线性环节的负倒描述函数；

在复平面上绘制${\Gamma }_G$曲线和$-\frac{1}{N(A)}$曲线时，$-\frac{1}{N(A)}$曲线上箭头表示随$A$增大，$-\frac{1}{N(A)}$的变化方向；若${\Gamma }_G$曲线和$-\frac{1}{N(A)}$曲线无交点，表明上式无$\omega$的正实数解；

非线性系统的稳定性判据：若${\Gamma }_G$曲线不包围$-\frac{1}{N(A)}$曲线，则非线性系统稳定；若${\Gamma }_G$曲线包围$-\frac{1}{N(A)}$曲线，则非线性系统不稳定；

3.4.3 非线性系统存在周期运动时的稳定性分析

当${\Gamma }_G$曲线和$-\frac{1}{N(A)}$曲线存在交点时，下式成立：
$$G(\mathrm{j}\omega )=-\frac{1}{N(A)}$$
可得：
$$|G(\mathrm{j}\omega )|=\left|\frac{1}{N(A)}\right|,\angle [G(\mathrm{j}\omega )]=-\pi -\angle [N(A)]$$
或
$$\mathrm{Re}[G(\mathrm{j}\omega )N(A)]=-1，\mathrm{Im}[G(\mathrm{j}\omega )N(A)]=0$$
上两式可解得交点处的频率$\omega$和幅值$A$；

系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡：
$$x(t)=A\sin \omega t$$
即每一个交点对应着一个周期运动，如果该周期运动能够维持，即在外界小扰动作用下使系统偏离该周期运动，当该扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动，则称为稳定的周期运动；

下图给出非线性系统存在周期运动的四种形式，图中${\Gamma }_G$曲线和$-\frac{1}{N(A)}$的交点为$N_0=-\frac{1}{N(A_0)}$，负倒描述函数上的一点$N_i$对应的幅值为$A_i$；

• 图$(\mathrm{a})$：设系统周期运动的幅值为$A_0$，当外界扰动使非线性环节输入振幅减小为$A_1$时，由于${\Gamma }_G$曲线包围$(-1/N(A_1),\mathrm{j}0)$点，系统不稳定，振幅将增大，最终回到$N_0$点；当外界扰动使输入振幅增大为$A_2$，由于${\Gamma }_G$曲线不包围$(-1/N(A_2),\mathrm{j}0)$点，系统稳定，振幅将衰减，最终也回到$N_0$点；即$N_0$点对应的周期运动是稳定的；
• 图$(\mathrm{b})$：当外扰动使系统偏离周期运动至$N_2$点，即使其幅值由$A_0$增大为$A_2$时，系统不稳定，振幅将进一步增大，最终发散至无穷；当外扰动使系统偏离周期运动至$N_1$点，即使其幅值由$A_0$减小为$A_1$时，系统稳定，振幅将进一步减小，最终衰减为零；即$N_0$点对应的周期运动是不稳定的；
• 图$(\mathrm{c})$：${\Gamma }_G$曲线和$-1/N(A)$曲线有两个交点$N_{10}$和$N_{20}$，系统中存在两个周期运动，幅值分别为：$A_{10}$和$A_{20}$,在$N_{20}$点，外界小扰动使系统运动偏离该周期运动后，系统运动仍然能恢复该周期运动；在$N_{10}$点，只要有外界扰动使系统运动偏离该周期运动，则系统运动或收敛至零，或趋向于$N_{20}$点对应的周期运动；$N_{10}$点对应的周期运动是不稳定的，$N_{20}$点对应的周期运动是稳定的；
• 图$(\mathrm{d})$：$N_{10}$点对应的周期运动是稳定的，$N_{20}$点对应的周期运动是不稳定的，外界小扰动或使系统运动发散至无穷，或趋向于幅值$N_{10}$点对应的周期运动；

综上：在复平面上将${\Gamma }_G$曲线包围的区域视为不稳定区域，${\Gamma }_G$曲线不包围的区域视为稳定区域，则周期运动稳定性判据：在${\Gamma }_G$曲线和$-1/N(A)$曲线的交点处，若$-1/N(A)$曲线沿着振幅$A$增加的方向由不稳定区域进入稳定区域时，该交点对应的周期运动是稳定的；反之，若$-1/N(A)$曲线沿着振幅$A$增加的方向在交点处由稳定区域进入不稳定区域时，该交点对应的周期运动是不稳定的；

3.5 实战

实验要求：设非线性控制系统如下图所示：

其中：$G_1(s)=5，G_2(s)=\frac{1}{0.4s+1}，G_3(s)=\frac{1}{s}$，非线性环节$N$为死区非线性，其表达式为：
$$y=\{\begin{array}{llc}& x+2,& x<-2\\ & 0,& |x|\le 2\\ & x-2,& x>2\end{array}$$
使用$\mathrm{SIMULINK}$分析系统单位阶跃响应，并绘制响应曲线。

解：

【$\mathrm{SIMULINK}$模型】

# SIMULINK设置：
# 所需模块：
Continuous模块组下的Transfer Fcn模块；
Discontinuties模块组下的Dead Zone模块；
Sources模块组下的Step模块；
Sources模块组下的Clocks模块；
Math Operations模块组下的Add模块；
Sinks模块组下的Scope模块；
Sinks模块组下的To Workspace模块；

# 参数设置
Dead Zone模块的死区范围：[-2,2]；
To workspace模块的save format选择"Array"；

【阶跃响应曲线】