games301曲面参数化 作业1讲解 Floater权重tutte’s参数化

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GAMES301曲面参数化
曲面参数化说白了就是研究建模展uv贴图、研究如何把一个曲面展开到平面上的，在建模软件和游戏引擎里面应用很广。

对本次作业中主要要解的线性方程组的理解

原理：对于没有隧道并且有且只有一条边界线的流型网格体，将其边界顶点有序地落在一个凸多边形上，并且保证内部的顶点是其邻居的凸线性组合，那么得到的（u，v）坐标参数化是双射的。
也就是说以这种方式展uv，得到的uv图结果不存在自交、重叠。

对于参数化后的每一个非边界顶点$P_i$，要保证其为为邻居顶点$P_{i,j}$的凸线性组合，则有：
$W_{i,0}{P}_{i,0}+W_{i,1}{P}_{i,1}+W_{i,2}{P}_{i,2}+\dots =(\sum W_{i,j})P_i$（$W_{i,j}>0$）
移项得到：
$W_{i,0}{P}_{i,0}+W_{i,1}{P}_{i,1}+W_{i,2}{P}_{i,2}+\dots -(\sum W_{i,j})P_i+\dots =0$
写成矩阵形式：
$$\left[\begin{array}{cccccc}{W}_{i,0}& W_{i,1}& W_{i,2}& \cdots & -(\sum W_{i,j})& \cdots \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{P}_{i,0}\\ P_{i,1}\\ P_{i,2}\\ ⋮\\ P_i\\ ⋮\end{array}\right]=0$$
将所有顶点都表示出来，就可以能得到

(其中u0 Bound v0 Bound等等，代表的是边界顶点固定到平面后的坐标)
可简写为方程$$AX=B$$
在我的代码中我把等号左边的稀疏矩阵命名为A,等号右边的矩阵为B,中间的那个矩阵命名为X，其中代表u轴坐标的一列被我命名为Xu，代表v轴坐标的一列被我命名为Xv,并分别使用Eigen数学库中求解稀疏矩阵的方法求解Xu和Xv

而什么样的权重，能使该线性方程组解出的uv图相比原网格体形变更小，更合理，就是后面权重计算的任务

权重计算

对于均匀权重的计算，不必过度赘述。直接来到Floater权重的计算

Floater权重的核心思想是：
对于每个非边界顶点$P_i$，新建一个以$\overrightarrow{P_i{P}_{i,0}}$($P_{i,0}$可以为$P_i$的任意邻居顶点)方向为x轴的平面直角坐标系，并把它放到该坐标系的原点，然后把它的某一个邻居顶点将点的1-邻域保角度比例、保长度地映射到该平面区域。求得在此坐标系下$P_i$点相对于其邻居顶点的重心权重并填入矩阵A,这样解出的uv图就能尽量吻合原本的形状

即$||P_{i,j}-P_i||=||X_{i,j}-X_i||$
和$ang(P_{i,k-1},P_i,P_{i,k})=2\pi ang(X_{i,k-1},Xi,X_{i,k})/{\theta }_i$

（$X_i$和$X_{i,j}$分别表示原网格体上的中心顶点和其邻居顶点，$P_i$和$P_{i,j}$分别表示“拍平”后的中心顶点和其邻居顶点，其中${\theta }_i$为中心顶点$X_i$与其邻居顶点$X_{i,k}$组成的夹角的总和）

求解$P_i$点相对于其邻居顶点的重心权重的方法：
首先，对于每条$P_i{P}_{i,l}$直线，（$P_i{P}_{i,l}$代指所有$P_i$点与其邻居点的连线）都要寻找相邻的两个邻居顶点$P_{i,k-1}$和$P_{i,k}$，使得线段$P_{i,k-1}{P}_{i,k}$与直线$P_i{P}_{i,l}$相交，组成三角形$△P_{i,l}{P}_{i,k-1}{P}_{i,k}$，并在此三角形中求得其中心顶点$P_i$的重心权重{a,b,c},分别对应{ $P_{i,l},P_{i,k-1},P_{i,k}$}这三个顶点。
注意，我们可以使用叉乘的方法来判断$P_{i,k-1}$和$P_{i,k}$是否在直线$P_i{P}_{i,l}$两侧；也可以直接计算重心权重，如果重心权重a,b,c的值都在(0,1)区间，那么也可以说明$P_i$在三角形$△P_{i,l}{P}_{i,k-1}{P}_{i,k}$内部。

假设我们遍历到了某个中心顶点$P_i$,它有4个邻居顶点，分别是$P_{i,0},P_{i,1},P_{i,2},P_{i,3}$,那么我们就创建一个4*4的矩阵Mu(读做希腊字母μ)，把遍历$P_i{P}_{i,l}$直线时，得到的权重{a,b,c},分别填到Mu的第l列的第j行，第k-1行和第k行。然后按行求和得到个列向量Sum_mu

矩阵A中，权重$W_{i,j}$的计算代码如下(*vertex为当前遍历到的中心顶点 neibors为其邻居顶点)

	Eigen::VectorXd Sum_mu = Mu.rowwise().sum();//综合邻居权重
	size_t size = neibors.size();
	double sum_weight = 0;
	for (size_t n = 0; n< size; n++)
	{
		double sum_mu = Sum_mu[n];
		double Wij = sum_mu / n_neibors;
		sum_weight += Wij;
		Eigen::Triplet<double> t((*vertex)->index(), (*neibors.at(n))->index(), Wij);
		triplet_list.push_back(t);
	}
	Eigen::Triplet<double> t((*vertex)->index(), (*vertex)->index(), -sum_weight);
	triplet_list.push_back(t);

作业中遇到的坑

①提前setPositon，把网格体的边界顶点固定了，没有用原始网格体数据，导致后面计算角度时出错，debug了很久才找到原因
②判定三角形时候出错，导致计算出来的A矩阵存在not a number的问题

作业效果图

均匀权重

猫头模型离散网格均匀权重参数化效果图（如果发现是反的，就拖拽旋转一下它）

半球模型均匀权重离散网格参数化效果图

Floater权重

猫头模型离散网格Floater权重参数化效果图（如果发现是反的，就拖拽旋转一下它）

半球模型离散网格Floater权重参数化效果图

我的作业答案和代码：

games301作业1答案