NLP基础：语言模型（LM）

语言模型（LM，Language Model）就是用来判断某个句子是否语义通顺。首先对句子进行分词，句子的概率可以表示为各个词的联合概率： $P(s)=P(w_1,w_2,...,w_n)$ 。

根据Chain rule: P(A,B,C,D)=P(A)P(B|A)P(C|A,B)P(D|A,B,C),可以转化：

$P(s)=P(w_1,w_2,...,w_n)=P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_1,w_2)...P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})$
对于概率 $P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})$ ，条件很长，corpus里找不到单词，就容易导致稀疏性（sparsity），因此引入Markov Assumption：

Unigram Model(1-gram): $P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})=P(w_n)$
Bigram Model(2-gram): $P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})=P(w_n|w_{n-1})$
Trigram Model(3-gram): $P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})=P(w_n|w_{n-2},w_{n-1})$
…
N-gram Model

因此，语言模型可表示为：

Unigram Model: $P(w_1,w_2,...,w_n）= \sum_{i=1}^n P(w_i)$
Bigram Model: $P(w_1,w_2,...,w_n）= P(w_1)\sum_{i=2}^n P(w_i|w_{i-1})$
Trigram Model: $P(w_1,w_2,...,w_n）= P(w_1)P(w_2|w_1)\sum_{i=3}^n P(w_i|w_{i-1},w_{i-2})$

那么如何估计每个单词的概率呢？统计语料库corpus里出现的单词的频数来估计概率，即模型的训练过程。

比如，根据以下不同阶段的工作或选择构建不同的LM？

N-gram里N的选择：Unigram, Bigram, Trigram,…
平滑处理方法的不同：Laplace smoothing, Interpolation, Good-Turing smoothing等10几种方法。（计算概率避免出现概率为0，在文本分类的问题中，当一个词语没有在训练样本中出现，该词语调概率为0，使用连乘计算文本出现概率时也为0。）
预处理方法：语料中去掉某些特定的人名地名等词，停用词等。

1. 模型评估（概率估计）

根据不同的选择可以有很多LM，又如何从中选择最好的一个呢？训练出来的语言模型效果是好还是坏？

理想情况下：

假设有语言模型A，B
选定一个特定的任务，比如拼写纠错，机器翻译（MT，Machine Translation）
把两个模型都应用到此任务中
最后比较准确率，从而判断A，B的表现

核心思路： $P(w_1,w_2,...,w_n)= P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_1,w_2)...P(w_n|w_1,w_2,w_3,...,w_{n-1})$ 使概率乘积最大。

更简单的评估方法，不需要放在特定任务中——Perplexity：

$\text{Perplexity}=2^{-x}, \quad x:average\quad log\quad likelihood$
例如，Bigram Model:
$P(w_1,w_2,w_3,w_4,w_5)=P(w_1)P(w_2|w_1)P(w_3|w_2)P(w_4|w_3)P(w_5|w_4)\\ x =\frac{logP(w_1)+logP(w_2|w_1)+logP(w_3|w_2)+logP(w_4|w_3)+logP(w_5|w_4)}{5} \Longrightarrow \text{Perplexity}=2^{-x}$
Perplexity越小（LM中所有单词的概率乘积越大），LM越好。

2. 平滑方法

为了解决使用N-Gram模型时可能引入的稀疏数据问题，人们设计了多种平滑算法。
计算概率应避免出现概率为0，在文本分类的问题中，当一个词语没有在训练样本中出现，该词语概率为0，使用连乘计算文本出现概率时也为0。

可以用平滑处理方法：Laplace smoothing, Interpolation, Good-Turing smoothing等10几种方法。

Add-one Smoothing(Laplace Smoothing)

$P(w_i|w_{i-1})=\frac{c(w_{i-1},w_i)+1}{c(w_{i-1})+V}$

，V是词库大小（分母+V为了归一化，所有概率和=1）

Add-K Smoothing(Laplace Smoothing)

$P(w_i|w_{i-1})=\frac{c(w_{i-1},w_i)+k}{c(w_{i-1})+kV}$

，V是词库大小(V=set(corpus))

Interpolation插值

在使用插值算法时，把不同阶别的N-Gram模型线性加权组合后再来使用。简单线性插值（Simple Linear Interpolation）可以用下面的公式来定义：

$P(w_i|w_{i-2},w_{i-1})=\lambda_1P(w_i)+\lambda_2P(w_i|w_{i-1})+\lambda_3P(w_{i-2},w_{i-1}) \\ \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$

Good-Turing smoothing

基本思想: 用观察计数较高的 N-gram 数量来重新估计概率量大小，并把它指派给那些具有零计数或较低计数的 N-gram.

Idea: reallocate the probability mass of n-grams that occur r+1 times in the training data to the n-grams that occur r times.

在 Good Turing 下，对每一个计数 r，我们做一个调整，变为 $r^{'}$ ， $n_r$ 表示出现过r次的N-gram:

$r'= (r+1)n_{r+1}/n_r \\ P(x:c(x)=r)=r'/N$

3. LM在拼写纠正（Spell Correction）中的应用

一般地，拼写错误有两种：第一，词拼写错；第二，没有错词，语法有问题。

对于错词，之前的方法VS现在的方法

之前的方法：

用户输入 --> 从词典中寻找编辑距离最小的词（需要遍历整个词典O(|V|) --> 返回

现在的方法:

用户输入 --> 生成编辑距离为1,2的字符串(candidates) --> 过滤 （根据上下文）--> 返回

如何过滤？

假设w是错词，改成正确的形式c:
$\begin{aligned} c^{*} &= \mathop{\arg\max}\limits_{c \in Candidates} P(c|w) \\ &= \mathop{\arg\max}\limits_{c \in Candidates} P(w|c)P(c)/P(w) \\ &= \mathop{\arg\max}\limits_{c \in Candidates} P(w|c)P(c) \\ \end{aligned}$

$P (w ∣ c)$ 是(w,c)相关的score， $P (c)$ 是语言模型

第一，词拼写错：

首先是获取candidates，w所有可能的c，有两种方法来过滤出最优的正确词。

Edit Distance

设定不同编辑距离下(w,c)相关的score，例如d=1, score=0.8; d=2, score=0.2; other, score=0.
Collected data
P(w|c):当用户拼c时，有多少概率把它拼错位w?
从搜索引擎可以得到相关的历史数据，例如输入搜索词“appl"，搜索框历史给出相关的可能的匹配词，统计出现的频率即可。

然后对候选词根据N-gram的概率最大化来选择最优的词c。

第二，没有错词，语法有问题。

根据LM来检查。

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