[分治] 二分查找之单个元素、可重复元素上下界

单个元素

目的：在一个不重复的序列里，找一个元素，找不到返回-1。

// A:元素所在数组   [x,y):区间   v:元素值
int bserach(int* A, int x, int y, int v) {
    int m;
    while (x < y) {
        m = x + (y - x) / 2;
        if (A[m] == v) return m;
        else if (A[m] > v) y = m;
        else x = m + 1;
    }
    return -1;
}

思路就很明了了。

找下界

目的：当v存在时返回它出现的第一个位置。如果不存在，返回这样一个下标i：在此处插入v（此处元素往后移）后序列仍有效。

int lower_bound(int* A, int x, int y, int v) {
    int m;
    while (x < y) {
        m = x + (y - x) / 2;
        if (A[m] >= v) y = m;
        else x = m + 1;
    }
    return x;
}

这就有点说头了。（引自 aoapc2 by LRJ）
首先，最后的返回值不仅可能是x, x+1, x+2, …, y-1， 还可能是y——如果v大于A[y-1]，就只能插入这里了。这样，尽管查找区间试左闭右开区间[x,y)，返回值的候选区间却是闭区间[x,y]。A[m]和v的各种关系所带来的影响如下。

• A[m] = v: 至少已经找到一个，而左边可能还有，因此区间变为[x,m]。
• A[m] > v: 所求位置不可能在后面，但有可能是m，因此区间变为[x,m]。
• A[m] < v: m和前面都不可行，因此区间变为[m+1,y]。

求上界

目的：当v存在时返回它出现的最后位置。如果不存在，返回这样一个下标i：在此处插入v（此处元素往后移）后序列仍有效。

int upper_bound(int* A, int x, int y, int v) {
    int m;
    while (x < y) {
        m = x + (y - x) / 2;
        if (A[m] <= v) x = m+1;
        else y = m;
    }
    return x;
}

同样，查找区间为[x,y)，而返回值的候选区间是[x,y]。
因此，A[m]和v的各种关系所带来的影响如下：

• A[m] = v: 至少已经找到一个，而右边可能还有，所以区间变为[m+1,y]。
• A[m] < v: m没可能，左边也没可能，所以区间变为[m+1,y]。
• A[m] > v: m依旧有可能，右边没可能，所以区间变为[x,m]。