MIT 18.06 linear algebra 第二十九讲笔记
- is Positive Definite !
- Similar Matrices
- JORDAN DORM
正定矩阵意味着
,(除
)。
前面一直讲正定矩阵,并未说明正定矩阵来源于哪个问题,正定矩阵来自于最小二乘问题。
正定矩阵的逆矩阵,也是正定的。,因为逆矩阵的特征值等于原矩阵特征值的倒数,那么逆矩阵的特征值也都大于零,那么逆矩阵是正定的。
如果 都是正定的,那么 也是正定的。 ,得证。
现在有一个矩阵 是 的,那么 是方阵且为对称阵, ,如果要让 的零空间只有零向量,那么矩阵的秩必须等于 ,那么根据前面的知识知道 是正定矩阵。
根据前面的知识知道 可逆,最小二乘才会有最优解。还有就是 为正定矩阵。
正定矩阵再消元的时候不需要换行。
现在有矩阵
和
相似。(
并不要是对称阵),这意味着能找到
使得
。
前面有
,那么
和
相似。
相似矩阵有相同的特征值(而且线性无关的特征向量的数目也要一样多)。
,
,那么证明相似矩阵有相同特征值过程如下。
,得证。即如果矩阵 有一个特征值 ,那么矩阵 也相应有一个。
假设矩阵的特征向量为 ,那么矩阵 的特征值为
下面为Bad case,即当 时,矩阵有可能无法被对角化。
矩阵 ,这个矩阵之和它自己相似。因为 。
矩阵 ,它有一个大的家族和它相似,(注意:这个矩阵是无法对角化的,因为如果它可以被对角化,那么它就相似与 )。
像这样的矩阵 ,被称之为Jordan form。
,这个矩阵的特征为4个0,有两个特征向量。
,特征值为4个0,有两个特征向量,但是这两个矩阵是不相似。上面矩阵中用不同颜色标出的块,叫做Jordan block。
表示 阶的jordan block,它只有一个重复的特征值 ,对角线全是 ,下方全是0,上面为1。只有一个特征向量。形如: 。
每一个方阵 相似与某一个Jordan Matrix J= 。其中block的数目等于特征向量的数目#block=# eignevector。
假设矩阵 有 个不同的特征值,那么它是一个可以对角化的矩阵,它所对应的Jordan 矩阵就是对角阵。