github：代码实现
本文算法均使用python3实现
1. 什么是堆
堆（heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象，且堆总是一棵完全二叉树。由于堆是基于完全二叉树的结构，因此可以使用顺序存储结构即数组来保存堆，再根据堆的性质，我们可以得到该数组（从0下标开始）的一些性质：
（1）对于数组 $ heap $ 中的第 $ i $ 个节点，其左孩子节点值 $ heap[2i+1] \leq heap[i] $ 且其右孩子节点值 $ heap[2i+2] \leq heap[i] $ ，此时为大根堆。（父亲值大于等于孩子值）
（2）对于数组 $ heap $ 中的第 $ i $ 个节点，其左孩子节点值 $ heap[2i+1] \geq heap[i] $ 且其由孩子节点值 $ heap[2i+2] \geq heap[i] $ ，此时为小根堆。（父亲值小于等于孩子值）
对于大根堆，将其映射到数组中如下：
2. 如何构建初始堆
堆的构建是一个递归的过程。下面以大根堆为例进行讲解。具体操作如下：
构建初始大根堆：从最后一个非叶子节点开始，比较其与其左右孩子值的大小，若其节点值比孩子节点值小，则将其与较大孩子进行交换。然后依次对其它节点进行如此比较与交换，直至根节点，此时根节点的值即为该堆中的最大值。
3. 如何进行堆排序
堆排序是在已经构建好的初始大根堆上进行。主要分为以下几步：
（1）对初始序列构建初始大根堆。（按照2中所描述）
（2）将大根堆的根节点值与最后一个节点值交换。
（3）将交换后的堆从数组上分为两个区：无序区与有序区。对无序区进行“堆调整”，即将无序区调整为大根堆。（其实建立初始大根堆也是一个不断调用“堆调整”的过程）
（4）将无序区中的根节点值与无序区中的最后一个节点值进行交换。此时无序区长度减 $ 1 $ ，有序区长度加 $ 1 $ ，见下图。重复（3）直到无序区中只有一个节点为止。
4. 实现代码
class HeapSort:
'''堆排类'''
def Max_Heapify(self, heap, heapsize, root):
'''堆调整，使得根节点值大于子节点值'''
left = root * 2 + 1 # 列表从0开始，左节点下标为 2i+1,右节点下标为 2i+2
right = left + 1
larger = root
if left < heapsize and heap[left] > heap[larger]:
larger = left
if right < heapsize and heap[right] > heap[larger]:
larger = right
if larger != root:
heap[larger], heap[root] = heap[root], heap[larger]
self.Max_Heapify(heap, heapsize, larger)
else: return
def Build_Max_Heap(self, heap):
'''构建初始大根堆'''
heapsize = len(heap)
for i in range((heapsize-2)//2, -1, -1):
# 从最后一个非叶子节点开始构建
self.Max_Heapify(heap, heapsize, i)
def Heap_Sort(self, heap):
'''堆排序'''
# 步骤（1）构建初始大根堆
self.Build_Max_Heap(heap)
for i in range(len(heap)-1, -1, -1):
# 步骤（2）交换无序区第一个节点值与最后一个节点值
heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
# 步骤（3）对无序区进行“堆调整”
self.Max_Heapify(heap, i, 0)
return heap[::-1]5. 算法分析
堆排序是一种选择排序，且是不稳定排序，整体主要由构建初始堆+交换堆顶元素和末尾元素并重建堆两部分组成。其中构建初始堆的时间复杂度为 $ O(n) $ ，在交换并重建堆的过程中，需进行 $ n-1 $ 次”堆调整”，而重建堆的过程中，根据完全二叉树的性质，$ [\log_2(n-1),\log_2(n-2)...1] $ 逐步递减，近似为 $ O(n \log_2 n) $ 。所以堆排序时间复杂度为是 $ O(n \log_2 n) + O(n) = O(n \log_2 n) $ 。即堆排序的最坏时间复杂度为 $ O(n \log_2 n) $ （平均复杂度接近于最坏情况）。
引用及参考：
[1]《数据结构》李春葆著
[2] https://www.cnblogs.com/chengxiao/p/6129630.html
[3] https://blog.csdn.net/minxihou/article/details/51850001
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