NumPy学习笔记（二）—— 随机数与数学函数

NumPy随机数

NumPy 的随机数功能非常强大，主要由 numpy.random 模块完成，主要由以下这些方法完成基本的需求：

random.rand

numpy.random.rand(d0, d1, ..., dn) 方法的作用为：指定一个给定维度的数组（(d0, d1, ..., dn) 就是维度），并使用 [0, 1) 区间随机数据填充，这些数据均匀分布。

np.random.rand(3, 4)

# 输出
array([[0.96390402, 0.3878755 , 0.14685681, 0.32808648],
       [0.27195019, 0.87618918, 0.35462784, 0.5059975 ],
       [0.51475363, 0.04927383, 0.14478862, 0.44032861]])

random.randn

numpy.random.randn(d0, d1, ..., dn) 与 numpy.random.rand(d0, d1, ..., dn) 的区别在于，randn 是从标准正态分布中返回一个或多个样本值，而 rand 是均匀分布。

np.random.randn(1, 10)

# 输出
array([[ 0.19248614,  0.52178069,  0.27912866,  0.70256776,  0.89134746,
        -1.0733362 ,  0.51976275, -0.80942634,  0.67147133,  0.19235912]])

random.randint

randint(low, high, size, dtype) 方法将会生成 [low, high) 的随机整数。注意这是一个半开半闭区间。

np.random.randint(2, 10, 10)

# 输出
array([9, 3, 7, 7, 4, 6, 6, 7, 7, 8])

random.random_sample

random_sample(size) 方法将会在 [0, 1) 区间内生成指定 size 的随机浮点数。

np.random.random_sample([10])

# 输出
array([0.351286  , 0.20871643, 0.4825737 , 0.99446232, 0.32235943,
       0.35413849, 0.2937036 , 0.2713763 , 0.72350765, 0.5942214 ])

与 numpy.random.random_sample 类似的方法还有：

numpy.random.random([size])
numpy.random.ranf([size])
numpy.random.sample([size])

它们 4 个的效果都差不多。

random.choice

choice(a, size, replace, p) 方法将会从给定的数组里随机抽取几个值，该方法类似于随机抽样。

np.random.choice(10, 5)  # 在0~9中随机抽取5个数

# 输出
array([1, 4, 7, 0, 2])

概率密度分布

除了上面介绍的 6 种随机数生成方法，NumPy 还提供了大量的满足特定概率密度分布的样本生成方法。它们的使用方法和上面非常相似，这里就不再一一介绍了，用到的时候再学习一下就可以。列举如下：

numpy.random.beta(a，b，size)：从 Beta 分布中生成随机数。
numpy.random.binomial(n, p, size)：从二项分布中生成随机数。
numpy.random.chisquare(df，size)：从卡方分布中生成随机数。
numpy.random.dirichlet(alpha，size)：从 Dirichlet 分布中生成随机数。
numpy.random.exponential(scale，size)：从指数分布中生成随机数。
numpy.random.f(dfnum，dfden，size)：从 F 分布中生成随机数。
numpy.random.gamma(shape，scale，size)：从 Gamma 分布中生成随机数。
numpy.random.geometric(p，size)：从几何分布中生成随机数。
numpy.random.gumbel(loc，scale，size)：从 Gumbel 分布中生成随机数。
numpy.random.hypergeometric(ngood, nbad, nsample, size)：从超几何分布中生成随机数。
numpy.random.laplace(loc，scale，size)：从拉普拉斯双指数分布中生成随机数。
numpy.random.logistic(loc，scale，size)：从逻辑分布中生成随机数。
numpy.random.lognormal(mean，sigma，size)：从对数正态分布中生成随机数。
numpy.random.logseries(p，size)：从对数系列分布中生成随机数。
numpy.random.multinomial(n，pvals，size)：从多项分布中生成随机数。
numpy.random.multivariate_normal(mean, cov, size)：从多变量正态分布绘制随机样本。
numpy.random.negative_binomial(n, p, size)：从负二项分布中生成随机数。
numpy.random.noncentral_chisquare(df，nonc，size)：从非中心卡方分布中生成随机数。
numpy.random.noncentral_f(dfnum, dfden, nonc, size)：从非中心 F 分布中抽取样本。
numpy.random.normal(loc，scale，size)：从正态分布绘制随机样本。
numpy.random.pareto(a，size)：从具有指定形状的 Pareto II 或 Lomax 分布中生成随机数。
numpy.random.poisson(lam，size)：从泊松分布中生成随机数。
numpy.random.power(a，size)：从具有正指数 a-1 的功率分布中在 0，1 中生成随机数。
numpy.random.rayleigh(scale，size)：从瑞利分布中生成随机数。
numpy.random.standard_cauchy(size)：从标准 Cauchy 分布中生成随机数。
numpy.random.standard_exponential(size)：从标准指数分布中生成随机数。
numpy.random.standard_gamma(shape，size)：从标准 Gamma 分布中生成随机数。
numpy.random.standard_normal(size)：从标准正态分布中生成随机数。
numpy.random.standard_t(df，size)：从具有 df 自由度的标准学生 t 分布中生成随机数。
numpy.random.triangular(left，mode，right，size)：从三角分布中生成随机数。
numpy.random.uniform(low，high，size)：从均匀分布中生成随机数。
numpy.random.vonmises(mu，kappa，size)：从 von Mises 分布中生成随机数。
numpy.random.wald(mean，scale，size)：从 Wald 或反高斯分布中生成随机数。
numpy.random.weibull(a，size)：从威布尔分布中生成随机数。
numpy.random.zipf(a，size)：从 Zipf 分布中生成随机数。

数学函数

Python 自带的运算符只能完成一些些几处的运算，如果要完成更加复杂一些的数学计算，就会显得捉襟见肘了，NumPy 为我们提供了更多的数学函数，以帮助我们更好地完成一些数值计算。

三角函数

首先, 看一看 NumPy 提供的三角函数功能。这些方法有：

numpy.sin(x)：三角正弦。
numpy.cos(x)：三角余弦。
numpy.tan(x)：三角正切。
numpy.arcsin(x)：三角反正弦。
numpy.arccos(x)：三角反余弦。
numpy.arctan(x)：三角反正切。
numpy.hypot(x1,x2)：直角三角形求斜边。
numpy.degrees(x)：弧度转换为度。
numpy.radians(x)：度转换为弧度。
numpy.deg2rad(x)：度转换为弧度。
numpy.rad2deg(x)：弧度转换为度。

比如，我们可以用上面提到的 numpy.rad2deg(x) 将弧度转换为度：

np.rad2deg(np.pi)

# 输出
180

双曲函数

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数。双曲函数经常出现于某些重要的线性微分方程的解中，使用 NumPy 计算它们的方法为：

numpy.sinh(x)：双曲正弦。
numpy.cosh(x)：双曲余弦。
numpy.tanh(x)：双曲正切。
numpy.arcsinh(x)：反双曲正弦。
numpy.arccosh(x)：反双曲余弦。
numpy.arctanh(x)：反双曲正切。

数值修约

数值修约，又称数字修约, 是指在进行具体的数字运算前，按照一定的规则确定一致的位数，然后舍去某些数字后面多余的尾数的过程。
比如，我们常听到的「4 舍 5 入」就属于数值修约中的一种。

numpy.around(a)：平均到给定的小数位数。
numpy.round_(a)：将数组舍入到给定的小数位数。
numpy.rint(x)：修约到最接近的整数。
numpy.fix(x, y)：向 0 舍入到最接近的整数。
numpy.floor(x)：返回输入的底部(标量 x 的底部是最大的整数 i)。
numpy.ceil(x)：返回输入的上限(标量 x 的底部是最小的整数 i).
numpy.trunc(x)：返回输入的截断值。

随机选择几个浮点数，看一看上面方法的区别：

a = np.random.randn(5)
a

# 输出
array([-0.07558225, -0.51751454, -1.21637438,  1.60629138, -0.82310769])

np.around(a, 2) # 保留2位小数

# 输出
array([-0.08, -0.52, -1.22,  1.61, -0.82])

np.rint(a) # 修约到最接近的整数。

# 输出
array([-0., -1., -1.,  2., -1.])

求和、求积、差分

这些方法非常常用，可以用于数组（也就是向量）间的数学操作。

numpy.prod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积。
numpy.sum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和。
numpy.nanprod(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的乘积, 将 NaN 视作 1。
numpy.nansum(a, axis, dtype, keepdims)：返回指定轴上的数组元素的总和, 将 NaN 视作 0。
numpy.cumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积。
numpy.cumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和。
numpy.nancumprod(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积乘积, 将 NaN 视作 1。
numpy.nancumsum(a, axis, dtype)：返回沿给定轴的元素的累积总和, 将 NaN 视作 0。
numpy.diff(a, n, axis)：计算沿指定轴的第 n 个离散差分。
numpy.ediff1d(ary, to_end, to_begin)：数组的连续元素之间的差异。
numpy.gradient(f)：返回 N 维数组的梯度。
numpy.cross(a, b, axisa, axisb, axisc, axis)：返回两个(数组）向量的叉积。
numpy.trapz(y, x, dx, axis)：使用复合梯形规则沿给定轴积分。

指数和对数

如果你需要进行指数或者对数求解，可以用到以下这些方法：

numpy.exp(x)：计算输入数组中所有元素的指数。
numpy.log(x)：计算自然对数。
numpy.log10(x)：计算常用对数。
numpy.log2(x)：计算二进制对数。

算术运算

NumPy 也提供了一些用于算术运算的方法，使用起来会比 Python 提供的运算符灵活一些，主要是可以直接针对数组。

numpy.add(x1, x2)：对应元素相加。
numpy.reciprocal(x)：求倒数 1/x。
numpy.negative(x)：求对应负数。
numpy.multiply(x1, x2)：求解乘法。
numpy.divide(x1, x2)：相除 x1/x2。
numpy.power(x1, x2)：类似于 x1^x2。
numpy.subtract(x1, x2)：减法。
numpy.fmod(x1, x2)：返回除法的元素余项。
numpy.mod(x1, x2)：返回余项。
numpy.modf(x1)：返回数组的小数和整数部分。
numpy.remainder(x1, x2)：返回除法余数。

矩阵和向量积

求解向量、矩阵、张量的点积等同样是 NumPy 非常强大的地方。

numpy.dot(a, b)：求解两个数组的点积。
numpy.vdot(a, b)：求解两个向量的点积。
numpy.inner(a, b)：求解两个数组的内积。
numpy.outer(a, b)：求解两个向量的外积。
numpy.matmul(a, b)：求解两个数组的矩阵乘积。
numpy.tensordot(a, b)：求解张量点积。
numpy.kron(a, b)：计算 Kronecker 乘积。

举个例子：

a = np.matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = np.matrix([[2, 2], [3, 3], [4, 4]])
np.matmul(a, b)

# 输出
matrix([[20, 20],
        [47, 47]])

其他数学运算的方法

除了上面这些归好类别的方法，NumPy 中还有一些用于数学运算的方法，归纳如下：

numpy.angle(z, deg)：返回复参数的角度。
numpy.real(val)：返回数组元素的实部。
numpy.imag(val)：返回数组元素的虚部。
numpy.conj(x)：按元素方式返回共轭复数。
numpy.convolve(a, v, mode)：返回线性卷积。
numpy.sqrt(x)：平方根。
numpy.cbrt(x)：立方根。
numpy.square(x)：平方。
numpy.absolute(x)：绝对值, 可求解复数。
numpy.fabs(x)：绝对值。
numpy.sign(x)：符号函数。
numpy.maximum(x1, x2)：最大值。
numpy.minimum(x1, x2)：最小值。
numpy.nan_to_num(x)：用 0 替换 NaN。
numpy.interp(x, xp, fp, left, right, period)：线性插值。

代数运算

上面，我们分为 8 个类别，介绍了 NumPy 中常用到的数学函数。这些方法让复杂的计算过程表达更为简单。除此之外，NumPy 中还包含一些代数运算的方法，尤其是涉及到矩阵的计算方法，求解特征值、特征向量、逆矩阵等，非常方便。

numpy.linalg.cholesky(a)：Cholesky 分解。
numpy.linalg.qr(a ,mode)：计算矩阵的 QR 因式分解。
numpy.linalg.svd(a ,full_matrices,compute_uv)：奇异值分解。
numpy.linalg.eig(a)：计算正方形数组的特征值和右特征向量。
numpy.linalg.eigh(a, UPLO)：返回 Hermitian 或对称矩阵的特征值和特征向量。
numpy.linalg.eigvals(a)：计算矩阵的特征值。
numpy.linalg.eigvalsh(a, UPLO)：计算 Hermitian 或真实对称矩阵的特征值。
numpy.linalg.norm(x ,ord,axis,keepdims)：计算矩阵或向量范数。
numpy.linalg.cond(x ,p)：计算矩阵的条件数。
numpy.linalg.det(a)：计算数组的行列式。
numpy.linalg.matrix_rank(M ,tol)：使用奇异值分解方法返回秩。
numpy.linalg.slogdet(a)：计算数组的行列式的符号和自然对数。
numpy.trace(a ,offset,axis1,axis2,dtype,out)：沿数组的对角线返回总和。
numpy.linalg.solve(a, b)：求解线性矩阵方程或线性标量方程组。
numpy.linalg.tensorsolve(a, b ,axes)：为 x 解出张量方程 a x = b
numpy.linalg.lstsq(a, b ,rcond)：将最小二乘解返回到线性矩阵方程。
numpy.linalg.inv(a)：计算逆矩阵。
numpy.linalg.pinv(a ,rcond)：计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆。
numpy.linalg.tensorinv(a ,ind)：计算 N 维数组的逆。

这里我们就不再一一尝试了，阅读一遍留下印象，用到时查阅官方文档即可。