求解所有的变量的所有次幂的每一种的和

标题很丑。。。

问题描述

\(n\) 个变量 \(a_n\)，求所有的
\[s_j=\sum_{i=1}^{n}a_i^j, j \in [0,m]\]

解决

\(O(n*m)\) 太暴力了

一个比较好的方法

设
\[F(x)=\Pi_{i=1}^{n}(a_ix+1)\]
则
\[Ln(F(x))=\sum_{i=1}^{n}Ln(a_ix + 1)\]
考虑这个 \(Ln(a_ix+1)\) 是个什么
\[Ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
等比数列求和可证
那么就有两种方法
方法一
\[Ln'(F(x))=\sum_{i=1}^{n}Ln'(a_ix + 1)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
就是
\[\sum_{j=0}(-1)^j(\sum_{i=1}^{n}a_i^{j+1})x_j\]
那么分治 \(FFT\) 然后求 \(Ln\) 再 求导即可
方法二
\[Ln'(a_ix+1)=\frac{a_i}{a_ix+1}=\sum_{j=0}(-1)^ja_i^{j+1}x^j\]
把它积分一下
\[Ln(a_ix+1)=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
那么
\[Ln(F(x))=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}a_i^{j}}{j}x^{j}\]
即
\[Ln(F(x))=\sum_{j=1}\frac{(-1)^{j-1}}{j}(\sum_{i=1}^{n}a_i^j)x^{j}\]
那么分治 \(FFT\) 然后求 \(Ln\) 即可