Fast Global Registration 快速全局配准

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1、算法过程

  Fast Global Registration算法利用四元约束剔除匹配的关系集中错误的关系对，最后基于关系集优化求解实现两组点云的配准。该算法主要分为三个步骤：基于四元约束的关系集的生成、基于关系集目标函数的构建、目标函数的优化过程。

2、基于四元约束关系集的生成

  基于四元约束的关系集的生成，主要分为四个阶段: 点集的FPFH 特征描述子的计算、初始关系集的生成、关系集的互为最近邻约束、关系集的四元约束。

1. 点集的FPFH 特征描述子的计算: 使用快速特征直方图( FPFH) 用于描述每个点的特征信息。之所以选择这个特征描述子，是因为它可以在短时间内快速计算，同时可以获取特征点周围领域内更多的特征信息。
2. 初始关系集的生成: 对于点云$P$ 中的每个点$p\in P$，在特征集合$F(Q)$ 中找到$F(p)$ 的最近邻，并且对于点云$Q$ 中的每个$q\in Q$，考虑在$F(P)$ 中找到$F(q)$ 的最近邻。将上述步骤生成的初始关系对存储到集合$K_1$中。这个关系集$K_1$可以作为输入在目标函数优化过程中被使用。而实际上，$K_1$具有非常多的错误匹配点对( 也即有很高的异常值) 。接下来，通过对关系集进行约束优化来降低关系集$K_1$的错误关系对，减少异常值数量。
3. 关系集的互为最近邻束: 对于上一步生成的关系集合$K_1$，随机从中挑选一组关系对$(p，q)$ ，当且仅当在$F(P)$ 中，$F(p)$是$F(q)$ 的最近邻，同时在$F(Q)$ 中，$F(q)$ 是$F(p)$ 的最近邻。对于满足互为最近邻约束的关系对$(p，q)$ ，将其存储到集合$K_2$中。
4. 关系集的四元约束: 为了减少关系集合$K_2$中错误的匹配点对对实验的影响，考虑对$K_2$增加进一步的约束，随机从$K_2$中选取4 组关系对$(p_1，q_1)，(p_2，q_2)，(p_3，q_3)，(p_4，q_4)$，检查四元组$(p_1，p_2，p_3，p_4)$ 和$(q_1，q_2，q_3，q_4)$ 的兼容性。具体来说，四组关系对是否符合以下条件:
   

其中$\tau =0.95$。直观地，该约束条件验证了四组关系对之间是否兼容。把满足条件的元组关系对存储到集合$K_3$中。图1 为四元约束图解。

经过上述两个条件约束后得到关系集$K=K_3$。

3、基于关系集目标函数的构建

  点云$P$ 和$Q$ 的配准，目标是找到一个最优的刚性变换矩阵$T$，将点云$Q$ 与$P$ 配准。算法优化了基于$P$ 和$Q$ 之间对应关系的鲁棒的目标函数。首先，关系集是通过执行的快速特征匹配和关系约束建立而来的。在目标函数的优化期间，关系集不需要重新进行计算，因此对于密集和复杂的点云的配准，算法有很大的优势。
  集合$K=(p，q)$是由$P$ 和$Q$ 中的匹配点生成的关系集，以关系集中对应关系对之间误差的平方和为条件建立目标函数。目标函数具体形式如下:

  这里$\rho (\cdot )$ 是一个鲁棒的惩罚函数。鲁棒的惩罚函数的适当使用是非常重要的，因为目标函数( 2)中的许多误差项是由错误匹配关系产生的，这样可以减小错误关系对目标函数的影响，从而实现更好的配准精度。同时，为了保证计算速度，在优化过程中不希望进行下采样和验证等额外的计算。本文精心选择一个名为Geman － McClure 估计算子$\rho$，它将自动执行验证，同时也不会增加额外的计算成本。具体的表达式为:

  图2 显示了不同$\mu$ 值的Geman － McClure 估计算子图像。从图2 可以看出，残差以最小二乘的方式进行惩罚，同时估计算子的快速平坦化中和了关系集的异常值。参数$\mu$ 控制着残差对目标函数所产生的重要影响。
  因为方程( 2) 不易直接进行优化求解，所以引入线处理。具体来说，令$L=lp，q，0＜lp，q＜1$ ，线处理表示关系对$p$和$q$ 之间的一种不连续性，当$lp，q\to 0$ 不连续性存在，或者当$lp，q\to 1$ 不连续性不存在。优化关于$T$ 和$L$ 的联合目标函数，具体形式如下:

  这里的$\Psi (lp，q)$ 是先验项，它一个惩罚函数，表示对$p$ 和$q$ 之间不连续性的惩罚，其形式为:

为了使得$E(T，L)$ 最小化，对方程( 5) 关于$lp，q$求偏导，令其导函数为零，得到如下式子:

求解$lp，q$，计算结果如下:

最后，将$lp，q$带入$E(T，L)$ 中，方程( 4) 变换成方程( 2) 。因此，优化目标函数( 4) 产生的变换矩阵$T$，对于最初的目标函数( 2) 也是最优解。

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  方程( 4) 是非凸的，并且其形状由惩罚函数( 方程( 3) ) 的参数$\mu$ 来控制。为了设置$\mu$ 并减少局部最小的影响，采用渐变非凸度方法求解。从方程( 4) 可以看出$\mu$ 平衡先验项和对齐项。较大的$\mu$ 使得目标函数更平滑，并且允许一些错误的关系对参与优化，即使它们不能经过转换$T$ 紧密地对齐。本文算法的目标函数( 4) 优化开始于非常大的$\mu =D^2$值，其中$D$ 是最大曲面的直径。参$\mu$在优化期间不断减小直到$\mu ＜{\delta }^2$停止优化，其中$\delta$是真实关系的距离阈值。

4、目标函数的优化

  将变换矩阵T 局部地线性化为一个6 维向量$\xi =(w,t)=(\alpha ,\beta ,\gamma ,a,b,c)$该向量包含了旋转分量$w$和平移分量$t$。$T$由$\xi$的线性函数近似求得：

  这里$T^k$是在上一次迭代中所求的变换矩阵。方程( 4) 变成关于$\xi$ 的最小二乘的目标函数。考虑使用高斯－ 牛顿法求解，通过求解线性系统来计算$\xi$ 的值，得到:

  其中$r$ 是残差向量，$Jr$是其雅可比矩阵。利用方程( 9) 求得的$\xi$ 和$T^k$ 的值，通过方程( 8) 来更新$T$。两个步骤优化了相同的目标函数( 方程( 4) ) ，因此优化过程可以保证算法收敛本文算法的流程图如表1 所示。