1. 半高宽的知识

半高全宽FWHM（Full Width at Half Maxima)

MATLAB中的插值函数为interp1，其调用格式为： yi= interp1(x,y,xi,'method')

说明：x, y为原始数据点，yi为在xi点处的插值结果；x, y为向量，method最邻近插值，’linear’线性插值，‘spine’三次样条插值，‘cubic’立方插值。默认为线性插值。

所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。

%只有光瞳，不含像差时的情况
xw = -1:2/511:1;
yw = -1:2/511:1;%[-1,1]分为511个间隔，即512个像素点
for i = 1:length(xw)
    for j = 1:length(yw)
        P(i,j) = (sqrt(xw(i)^2 + yw(j)^2) <= 0.5);%光瞳的直径占图像的一半 居中
    end
end
imshow(P); title('无像差光瞳')

psf = fftshift(fft2(P));%使得频谱居中
psf = abs(psf) .^ 2;%因为OTF是光强，为幅度的平方
psf = psf ./ sum(psf(:));%能量归一化

x = 1:1:512;
[psfMax, ind] = max(psf(:));%psf换成一列，找到最大值的索引
[i, j] = ind2sub(size(psf), ind);%把这个索引换成二维索引 约为257*257

%计算半高全宽是几个像素
HM = max(max(psf(257,x)))/2;%psf是对称的，找257行/列的最大值（也就是上面的psfMax）
X1 = 1:0.1:512;
Y1 = interp1(x, psf(257,:), X1);%原始数据是psf=f(x),x=1:1:512,但是要
                                %计算X1=1:0.1:512每隔0.1的值，因此要插值（默认线性插值）
count = 0;
for k = 1:length(X1)
    if(Y1(k) >= HM)
        count = count +0.1;%因为步长是0.1，所以count也是0.1的增量
    end
end
FWHM = count

这里写图片描述 (C:\Users\Haron\Desktop\Typora Files\P.PNG)

说明：光瞳如图所示，这是无像差下的光瞳。计算出的FWHM也就是衍射极限下的半高宽，而根据衍射理论、傅里叶变换理论、采样等推导，衍射极限的半高宽 = M/D。M为像素大小（M*M)，D为光瞳直径。

衍射极限半高宽推导

假设M*M的图像，采样点之间的间隔为dx。其FFT变换后仍为 $M\times M$ 大小，频域中间隔设为dw。

（1）根据采样理论，FFT变换频域是空域的分辨率关系为： $dw=\frac{1}{dx\times M}$
（2）根据傅里叶光学衍射成像理论，OTF是psf的傅里叶变换，psf是光瞳P在焦面上的弗朗禾费衍射，也即傅里叶变换，公式表达为： $H(f_x,f_y)=FFT(psf)=FFT(FFT(P))=P(-\lambda f_xz_i,-\lambda f_yz_i)=P(\lambda f_xz_i,\lambda f_yz_i)$ psf弗朗禾费衍射图样不是标准的傅里叶变换，而是 $psf=U_f(u,v)=K\int\int t_A(x,y)exp[-j\frac{2\pi}{\lambda f}(xu+yv)]$ 所以，图中dw就是 $\frac{u}{\lambda f}=dw$ 的间隔，也就是直接FFT得到的图像的间隔。真实的psf的间隔不是FFT的间隔，而是FFT的间隔*lamada f。

（3）半高宽 $FWHM=\frac{\lambda f}{D}$ 。而要计算是几个像素，则要看半高宽与整个图像分辨率的比例。 $\frac{FWHM}{dv}=\frac{\frac{\lambda f}{D}}{dv}$

可得FWHM = M/D.
这里写图片描述
(C:\Users\Haron\Desktop\Typora Files\PP.PNG)

如何用半高宽评价算法质量

我们有了衍射极限的半高宽。M/D。也可以通过如上述代码计算得到。
我们的降质图像和复原图像，可以通过计算二者的psf，然后计算其半高宽，看是否达到衍射极限。

为什么师兄的代码中，直接看图像的截面即可算其半高宽？

因为他用的是点源图像，这样得到的图像就是psf。而用lena作为输入图像，得到的频谱不是对称的，无法去计算半高宽等东西。

同时，评价算法质量的指标有很多，可以自己去看看。

下面是自己做的图，无像差psf和含像差psf仿真，半高宽和截面对比。

无像差半高宽：FWHM1=2.1

有像差半高宽：FWHM2 = 8.3

这里写图片描述 (C:\Users\Haron\Desktop\Typora Files\psf截面.PNG)

%%半高宽作为评价算法质量的例子 
%材料准备：
%1.如上所示的光瞳 衍射极限FWHM=2
%2.加像差（加像差后的psf的FWHM=）
%3.复原图像得到的psf的半高宽

%只有光瞳，不含像差时的情况
xw = -1:2/511:1;
yw = -1:2/511:1;%[-1,1]分为511个间隔，即512个像素点
for i = 1:length(xw)
    for j = 1:length(yw)
        P(i,j) = (sqrt(xw(i)^2 + yw(j)^2) <= 0.5);%光瞳的直径占图像的一半 居中
    end
end
imshow(P); title('无像差光瞳')

psf = fftshift(fft2(P));%使得频谱居中
psf = abs(psf) .^ 2;%因为OTF是光强，为幅度的平方
psf = psf ./ sum(psf(:));%能量归一化

[psfMax, ind] = max(psf(:));%psf换成一列，找到最大值的索引
[i, j] = ind2sub(size(psf), ind);%把这个索引换成二维索引 约为257*257

%计算半高全宽是几个像素
x = 1:1:512;
HM = max(max(psf(257,x)))/2;%psf是对称的，找257行/列的最大值（也就是上面的psfMax）
X1 = 1:0.1:512;
Y1 = interp1(x, psf(257,:), X1);%原始数据是psf=f(x),x=1:1:512,但是要
                                %计算X1=1:0.1:512每隔0.1的值，因此要插值（默认线性插值）
count = 0;
for k = 1:length(X1)
    if(Y1(k) >= HM)
        count = count +0.1;%因为步长是0.1，所以count也是0.1的增量
    end
end
FWHM = count

%加像差的psf.
a = rand(65,1)/10;
psf2 = psfotf_fun(a,65);
HM2 = max(max(psf2(257,:)))/2;%psf是对称的，找257行/列的最大值（也就是上面的psfMax）
X1 = 1:0.1:512;
Y1 = interp1(x, psf2(257,:), X1);%原始数据是psf=f(x),x=1:1:512,但是要
                                %计算X1=1:0.1:512每隔0.1的值，因此要插值（默认线性插值）
count2 = 0;
for k = 1:length(X1)
    if(Y1(k) >= HM2)
        count2 = count2 +0.1;%因为步长是0.1，所以count也是0.1的增量
    end
end
FWHM2 = count2

%%画图分析
%无像差时的PSF mesh看不出效果 还是要看截面
figure;plot(x, psf(257,:),'b', x, psf2(257,:),'r');
legend('无像差psf','有像差psf2');

带宽有限限制的推导

参考文献：罗林, 王黎, 程卫东,等. 天文图像多帧盲反卷积收敛性的增强方法[J]. 物理学报, 2006, 55(12):006708-6714

半高全宽FWHM（Full Width at Half Maxima)

衍射极限半高宽推导

如何用半高宽评价算法质量

带宽有限限制的推导

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