前言

上一篇博客讲了离散傅里叶变换，里面的实例是对整个信号进行计算，虽然理论上有N点傅里叶变换(本博客就不区分FFT和DFT了，因为它俩就是一个东东，只不过复杂度不同)，但是我个人理解是这个N点是信号前面连续的N个数值，即N点FFT意思就是截取前面N个信号进行FFT，这样就要求我们的前N个采样点必须包含当前信号的一个周期，不然提取的余弦波参数与正确的叠加波的参数相差很大。

如果在N点FFT的时候，如果这N个采样点不包含一个周期呢？或者说我们的信号压根不是一个周期函数咋办？或者有一段是噪音数据呢？如果用FFT计算，就会对整体结果影响很大，然后就有人想通过局部来逼近整体，跟微积分的思想很像，将信号分成一小段一小段，然后对每一小段做FFT，就跟分段函数似的，无数个分段函数能逼近任意的曲线((⊙o⊙)…应该没错吧)，这样每一段都不会互相影响到了。

下面的参考博客中有一篇的一句话很不错：在短时傅里叶变换过程中，窗的长度决定频谱图的时间分辨率和频率分辨率，窗长越长，截取的信号越长，信号越长，傅里叶变换后频率分辨率越高，时间分辨率越差；相反，窗长越短，截取的信号就越短，频率分辨率越差，时间分辨率越好，也就是说短时傅里叶变换中，时间分辨率和频率分辨率之间不能兼得，应该根据具体需求进行取舍。

国际惯例，参考博客：

基于MATLAB短时傅里叶变换和小波变换的时频分析

小波前奏–短时傅里叶变换

短时傅里叶变换原理解

matlab自带的短时傅里叶变换函数spectrogram

理论及实现

其实就是多了几个参数，需要指定的有：

每个窗口的长度：nsc
每相邻两个窗口的重叠率：nov
每个窗口的FFT采样点数：nff

可以计算的有：

海明窗：w=hamming(nsc, 'periodic')
信号被分成了多少片： $\frac{len(S)-nsc}{nsc-nov}$
短时傅里叶变换：

$X (k) = \sum_{n = 1}^{N} w (n) * x (n) * e x p (- j * 2 π * (k - 1) * (n - 1) / N), 1 <= k <= N$ $X(k) = \sum_{n=1}^N w(n)* x(n)*exp(-j*2\pi*(k-1)*(n-1)/N), 1 <= k <= N$
其实和FFT的公式一样，只不过多了个海明窗加权

直接撸代码：

①先设置参数：

%默认设置：
% nsc=floor(L/4.5);%海明窗的长度
% nov=floor(nsc/2);%重叠率
% nff=max(256,2^nextpow2(nsc));%N点采样长度
%也可手动设置
nsc=100;%海明窗的长度,即每个窗口的长度
nov=30;%重叠率
nff=256;%N点采样长度

这里面有个默认设置，就是调用matlab自带的短时傅里叶变换时，如果没指定相关参数，就会采用默认参数值，这个可以去mathwork官网看。

②计算海明窗以及初始化结果值：

h=hamming(nsc, 'periodic');%计算海明窗的数值，给窗口内的信号加权重
coln = 1+fix((L-nsc)/(nsc-nov));%信号被分成了多少个片段
%如果nfft为偶数，则S的行数为(nfft/2+1)，如果nfft为奇数，则行数为(nfft+1)/2
%因为matlab的FFT结果是对称的，只需要一半
rown=nff/2+1;
STFT_X=zeros(rown,coln);%初始化最终结果

这里的信号被划分的片段数目可以按照卷积的方法计算

③对每个片段码公式：

%对每个片段进行fft变换
index=1;%当前片段第一个信号位置在原始信号中的索引
for i=1:coln
    %提取当前片段信号值,并用海明窗进行加权
    temp_S=S(index:index+nsc-1).*h';
    %进行N点FFT变换
    temp_X=fft(temp_S,nff);
    %取一半
    STFT_X(:,i)=temp_X(1:rown)';
    %将索引后移
    index=index+(nsc-nov);
end

可以发现我这里没码公式，因为上一篇博客证明了手撸的DFT与matlab自带的FFT公式一样，有高度强迫症的可以把上一篇博客的DFT写成一个函数，然后把此处的FFT换成你的函数名即可。注意这里的关键操作有两点：

对当前窗口的输入信号进行海明加权
窗口中输入信号的获取方法有点类似于卷积，卷积核大小是1*nsc，步长是nsc-nov

④正确性验证：与matlab自带的STFT函数spectrogram的结果进行比较：

%% matlab自带函数
[spec_s,spec_f,spec_t]=spectrogram(S,hamming(nsc, 'periodic'),nov,nff,Fs);
%减法，看看差距
plot(abs(spec_s)-abs(STFT_X))

这里写图片描述

啥也不说了，稳如狗

后记

感觉对于FFT的理解告一段落，先把蝶形算法搁着，下一步就是折腾常Q变换(Constant-Q transform)了，目前的用处是一个音乐的一拍可能有很多音组合而成，但是每个音的频率又不一样，那么就需要设置不同的窗口进行采样，相当于进行了多次STFT操作，只不过每次的窗口大小不同罢了，有兴趣可以看一波论文：《Calculation of a constant Q spectral transform 》，有张图介绍了CQT和DFT的区别，具体我还在研究。

这里写图片描述

【音频处理】短时傅里叶变换

前言

理论及实现

后记

猜你喜欢