2020年国赛高教杯数学建模
B题 穿越沙漠
原题再现
考虑如下的小游戏：玩家凭借一张地图，利用初始资金购买一定数量的水和食物（包括食品和其他日常用品），从起点出发，在沙漠中行走。途中会遇到不同的天气，也可在矿山、村庄补充资金或资源，目标是在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。
游戏的基本规则如下：
（1）以天为基本时间单位，游戏的开始时间为第0天，玩家位于起点。玩家必须在截止日期或之前到达终点，到达终点后该玩家的游戏结束。
（2）穿越沙漠需水和食物两种资源，它们的最小计量单位均为箱。每天玩家拥有的水和食物质量之和不能超过负重上限。若未到达终点而水或食物已耗尽，视为游戏失败。
（3）每天的天气为“晴朗”、“高温”、“沙暴”三种状况之一，沙漠中所有区域的天气相同。
（4）每天玩家可从地图中的某个区域到达与之相邻的另一个区域，也可在原地停留。沙暴日必须在原地停留。
（5）玩家在原地停留一天消耗的资源数量称为基础消耗量，行走一天消耗的资源数量为基础消耗量的 倍。
（6）玩家第0天可在起点处用初始资金以基准价格购买水和食物。玩家可在起点停留或回到起点，但不能多次在起点购买资源。玩家到达终点后可退回剩余的水和食物，每箱退回价格为基准价格的一半。
（7）玩家在矿山停留时，可通过挖矿获得资金，挖矿一天获得的资金量称为基础收益。如果挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量的 倍；如果不挖矿，消耗的资源数量为基础消耗量。到达矿山当天不能挖矿。沙暴日也可挖矿。
（8）玩家经过或在村庄停留时可用剩余的初始资金或挖矿获得的资金随时购买水和食物，每箱价格为基准价格的2倍。
请根据游戏的不同设定，建立数学模型，解决以下问题。
1. 假设只有一名玩家，在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，试给出一般情况下玩家的最优策略。求解附件中的“第一关”和“第二关”，并将相应结果分别填入Result.xlsx。
2. 假设只有一名玩家，玩家仅知道当天的天气状况，可据此决定当天的行动方案，试给出一般情况下玩家的最佳策略，并对附件中的“第三关”和“第四关”进行具体讨论。
3. 现有 名玩家，他们有相同的初始资金，且同时从起点出发。若某天其中的任意 名玩家均从区域A行走到区域B( )，则他们中的任一位消耗的资源数量均为基础消耗量的 倍；若某天其中的任意 名玩家在同一矿山挖矿，则他们中的任一位消耗的资源数量均为基础消耗量的 倍，且每名玩家一天可通过挖矿获得的资金是基础收益的 ；若某天其中的任意 名玩家在同一村庄购买资源，每箱价格均为基准价格的 倍。其他情况下消耗资源数量与资源价格与单人游戏相同。
（1）假设在整个游戏时段内每天天气状况事先全部已知，每名玩家的行动方案需在第 天确定且此后不能更改。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第五关”进行具体讨论。
（2）假设所有玩家仅知道当天的天气状况，从第 天起，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余的资源数量，随后确定各自第二天的行动方案。试给出一般情况下玩家应采取的策略，并对附件中的“第六关”进行具体讨论。
注1：附件所给地图中，有公共边界的两个区域称为相邻，仅有公共顶点而没有公共边界的两个区域不视作相邻。
注2：Result.xlsx中剩余资金数（剩余水量、剩余食物量）指当日所需资源全部消耗完毕后的资金数（水量、食物量）。若当日还有购买行为，则指完成购买后的资金数（水量、食物量）。
整体求解过程概述(摘要)
本文主要研究在穿越沙漠的游戏中如何设计不同地图和不同天气状况下的行走方案使得在规定时间内到达终点，并保留尽可能多的资金。本文中所有初始购买食物和水的数量原则为在起点买正好能够到达下一个村庄的水，在满足负荷和资金的情况下，购买尽可能多的食物。因为食物单价高，可以减少在村庄补充食物的资金。并且所有最终方案都已进行过负荷和资金数限制的检验。
针对问题一，对于第一关，以到达终点时的剩余资金数最大为目标函数，并列出各个约束条件，然后借助 Excel 进行数据及逻辑分析，在满足约束条件的基础上利用启蒙式算法进行计算机模拟，得到玩家的最优策略，最终的剩余资金数为 10430 元，行走路线为 1→25→ 24→23（停留）→ 22→9（停留） →15（补充）→13→14→13→15（补充）→9→21→27，剩余水和食物均为 0 箱。将第一关的模型进行改进，即从矿山到村庄补给资源时，可以将食物和水放置在矿山，待补充资源返回矿山后继续使用，以此来增加挖矿天数，改进后求得最终的剩余资金数为 11030 元，行走路线等结果见附录。
对于第二关，类似第一关，只是游戏地图不同，通过编程得到最终的剩余资金数为 12730 元，行走路线为 1→2→3→4(停留) →5→13（停留）→22→30（挖 2天）→39→47→55（挖 4 天）→65（补水 185 箱，补食物 175 箱）→55（挖 8 天）→63→64，最终剩余水 0 箱，食物 0 箱。
针对问题二，对于第三关，通过分析各种天气状况组合下的行走方案，发现不经过矿山可以使最终的剩余资金数更多，通过 Floyd 算法求得最短路径，得到
行走路线为 1→5→6→1→3，通过编程分别求得在此路线上行走不同天数（3-10天）最终剩余资源数的期望值（求期望值时初始购买物资按理论最优值进行购买，但是现实中一开始并不知道后面的天气状况，所以一开始按照全部高温天气进行购买初始物资更加合理），发现按照两种方法开始购买物资，都是行走 3 天可使最终的剩余资源数最大，所以玩家的最优策略为行走路线为 1→5→6→13 且高温、晴朗天气均不停留。
对于第四关，假设 30 天内出现 m 次沙暴天气。计算可知任何天气情况挖矿都可获得收益，则玩家的策略为采用经过矿山挖矿→补给→挖矿的最优方案（挖矿天数最大），最后回到终点。假设在最后一次挖矿前遇到沙暴天数为 t（t≤m）天，那么玩家应当预留(3+m-t)天，确保能够回到终点。
针对问题三，对于第五关，与第三关分析类似，可知如果不挖矿能使玩家最终的剩余资金数比挖矿更多。采用协商合作共赢方式，由最短路径原理可以确定两名玩家行走路线为 1→5→ 6 → 13，另一名玩家的行走路线为 1→4（停留一天）→7→12→13，其最终剩余资金数为 9425 元，另一位玩家的剩余资金数为 9510元；如果玩家不协商合作，采取零和博弈，直接选取对自己最有益的策略。 对于第六关，同第四关分析类似求得起点到终点最短路径为 8 天。采用协商合作共赢方式，平均分配三个人挖矿时间，相遇与沙暴天气均停留，第一名玩家：1→2→3→8→13→18→ 23→24→25，第二名玩家：1→6→7→12→13→14→19，第三名玩家：1→2→3→4→9→10→13；若玩家不协作，采取零和博弈，选取对玩家自己最有益的策略。
模型假设：
1.假设沙漠中除了高温、晴朗和沙暴没有其他天气状况；
2.假设沙漠中不会发生影响玩家行程的其他突发状况；
3.假设题目给定的天气状况准确；
4.假设村庄中有足够的资源供玩家购买。
5.假设矿山有足够的矿供玩家去挖。
问题分析：
问题一分析
对于问题一，只有一名玩家，玩家在游戏中每天天气状况事先都已知。题中给出了游戏最终需要达到的目标：在规定的截止日期或之前到达终点，保留尽可能多的资金。题中给出的游戏规则为约束条件，我们通过建立目标规划模型，就可以找到满足约束条件下玩家的最优策略。
对于游戏第一关，地图中包含矿山和村庄，将基础收益与不同天气状况挖矿的消耗量做比较，发现无论是高温、晴朗还是沙暴天气去挖矿都是可以获得收益的，但是通过地图可以发现，起点离矿山特别远，路上消耗的也很多。此时我们考虑两种方案，一类是不去矿山挖矿，直接去终点，另一类是去矿山挖矿，根据自己的物资需要考虑是否去村庄挖矿、先去村庄买物资还是先去矿山以及去买几次等问题。分别算出两类方案下的最优行走路径以及剩余资金数，最终剩余资金数最大的方案即为最优策略。
对于游戏第二关，地图中包含两个矿山和两个村庄，并且每一个矿山都与一个村庄相邻。将基础收益与不同天气下挖矿的消耗量做比较，发现无论是晴朗、高温还是沙暴都可以获得收益。因此我们去矿山挖矿。有以下三类方案，第一类在 55 号矿山挖矿，物资不足时到与它相邻的 62 号村庄进行购买；第二类方案是在 30 号挖矿，物资不足时在与它相邻的 39 号村庄进行补充；第三类方案为在一个矿山挖矿，物资不足时在与它不相邻的村庄进行购买。最终分别算出三种方案下行走路径以及剩余资金数，最终选择剩余资金数最大的方案即为最优策略。
问题二分析
对于第三关，给出了游戏的截止日期为 10 天，在游戏时间内只会出现晴朗和高温两种天气，不会出现沙暴这种天气，玩家只知道当天的天气状况，我们考虑三种情况，第一种为每一天的天气状况都是晴朗；第二种为每一天的天气状况都是高温；第三种为一般情况，我们可以通过计算机仿真来随机模拟每一天的天气状况。在三种天气的情况下考虑是否挖矿，确定最优的行走路径。行走路径确定后，通过求在这条路径上行走不同天数（3~10 天）下剩余的资金的期望值，确定在这条路上停留几天的问题。最后就可以确定最优的策略。
对于第四关，首先通过参数设定表中基础消耗量以及基础收益进行简单计算，判断出无论哪种天气下，去挖矿均可以获得收益。30 天内较少出现沙暴天气，我们分两种情况考虑，第一种情况为大概率事件即为 30 天内未出现沙暴天气，由于不知道每天的天气情况，我们可以通过计算机仿真来模拟每一天的状况。采用与问题一相同的方法即可得到最优策略。第二种情况在 30 天内发生 m 次沙暴。假设最后一次挖矿结束准备回到终点之前发生了 t 次沙暴，则我们保留(3+m-t)天回到终点。
问题三分析
游戏中可以有 n 名玩家，有相同的初始资金且同时从起点出发。题中除了开始给出的最基础的游戏规则，又增加了针对 n 名玩家的游戏规则。我们在进行 n人游戏的时候，最好的结果是实现共赢，即制定的行走策略应当使 n 名玩家都满意而不会发生争执。
对于第五关，玩家的个数为 2 个。在地图上，有一个矿山，没有村庄。我们可以考虑三种情况，第一种是两名玩家均不挖矿；第二种是一名玩家挖矿、另一名玩家不挖矿；第三种是两名玩家均挖矿。再分别讨论三种情况下，两名玩家到达终点时的剩余资金数；如果玩家不能协商合作，就采取零和博弈的方法，由于不知道另外一名玩家的行走方案，忽略另外两名玩家的存在，直接选取对自己来说最有利的方案。
对于第六关，玩家的个数为 3 个，并且玩家仅知道当天的状况，每名玩家在当天行动结束后均知道其余玩家当天的行动方案和剩余资源数量，途中如果下一天两个人会同天相遇，那其中一个人就停一天，等一天再走，另外再考虑挖矿只之前遇到沙暴的天气，来确定第一个人早回去的天数。通过以上规则，来确定最优的方案；如果玩家不能协商合作，就采取零和博弈的方法，由于不知道另外两名玩家的行走方案，忽略另外两名玩家的存在，直接选取对自己来说最有利的方案。
模型的建立与求解整体论文缩略图
全部论文请见下方“ 只会建模 QQ名片” 点击QQ名片即可
程序代码：(代码和文档not free)
%% 本附件由多段代码组合，根据逐步逻辑推理来进行有效搜索，注释段代码需要分别解除
注释运行
clear;clc;%清空变量
A1=zeros(27);%第一关地图地区的邻接矩阵
%相邻地区的数据输入到邻接矩阵 A1
A1(1,2)=1;A1(1,25)=1;
A1(2,3)=1;
A1(3,4)=1;A1(3,25)=1;
A1(4,5)=1;A1(4,24)=1;A1(4,25)=1;
A1(5,6)=1;A1(5,24)=1;
A1(6,7)=1;A1(6,23)=1;A1(6,24)=1;
A1(7,8)=1;A1(7,22)=1;
A1(8,9)=1;A1(8,22)=1;
A1(9,10)=1;A1(9,15)=1;A1(9,16)=1;A1(9,17)=1;A1(9,21)=1;A1(9,22)=1;
A1(10,11)=1;A1(10,13)=1;A1(10,15)=1;
A1(11,12)=1;A1(11,13)=1;
A1(12,13)=1;A1(12,14)=1;
A1(13,14)=1;A1(13,15)=1;
A1(14,15)=1;A1(14,16)=1;
A1(15,16)=1;
A1(16,17)=1;A1(16,18)=1;
A1(17,18)=1;A1(17,21)=1;
A1(18,19)=1;A1(18,20)=1;
A1(19,20)=1;
A1(20,21)=1;
A1(21,22)=1;A1(21,23)=1;A1(21,27)=1;
A1(22,23)=1;
A1(23,24)=1;A1(23,26)=1;
A1(24,25)=1;A1(24,26)=1;
A1(25,26)=1;
A1(26,27)=1;
A1=A1+A1';
for i=1:27
for j=1:27
if A1(i,j)==0
A1(i,j)=inf;
end
end
end
for i=1:27
A1(i,i)=0;
end
Lm=1200;%负重上限
deadline=30;%截止日期
initial=10000;%初始资金
income=1000;%基础收益
pm=[3,2];%水和食物的每箱质量（千克）
price=[5,10];%水和食物每箱的基准价格（元）
P=0;%最后汇总的资金（包括剩余初始资金、挖矿收益、资源换算资金）
C1=[5,7;
8,6;
10,10];%第一关的基础消耗,每行表示水和食物基础消耗量，第一列是水，第二列是食
物
W1=[2;2;1;0;1;2;0;1;2;2;
0;2;1;2;2;2;0;0;2;2;
1;1;2;1;0;2;1;1;2;2];%第一关各日期的天气状况，0 表示沙暴天气，1 表示高温天
气，2 表示晴朗天气
%% Floyd 算法求最短路径
[dmin,path]=floyd(A1);
% %输出起点 1 到终点 27 的最短路径
% i=1;j=27;
% k=path(i,j);
% disp(i);
% while k~=j
% disp(k);
% k=path(k,j);
% end
% disp(j);
%% *******最短路径下的策略********
% %只有一名玩家，所有天气状况全部已知
% %由弗洛伊德算法算出从起点 1 到终点 27 的最短路径是 1-25-26-27
% lu=[25,26,27];
% t=0;%天数
% dot=1;%当前所在地区
% i=1;
% j=1;%记录步数
% water=0;food=0;
% while dot~=27 %到达终点后结束
% if W1(i)==0
% water=water+C1(3,1);%资源箱数
% food=food+C1(3,2);
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==1
% water=water+2*C1(1,1);
% food=food+2*C1(1,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==2
% water=water+2*C1(2,1);
% food=food+2*C1(2,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% end
% end
% Swater=water*price(1);
% Sfood=food*price(2);
% p1=initial-Swater-Sfood;%最后剩余初始资金
% Mwater=water*pm(1);
% Mfood=food*pm(2);
% m1=Mwater+Mfood;%最少负重
% s1dexcel
%% ******去矿山挖矿策略*******
%只有一名玩家，所有天气状况全部已知
%% 输出起点 1 到村庄 15 的最短路径
% i=1;j=15;
% k=path(i,j);
% disp(i);
% while k~=j
% disp(k);
% k=path(k,j);
% end
% disp(j);
% %由弗洛伊德算法算出从起点 1 到村庄 15 的最短路径是 1-25-24-23-21-9-15
% lu=[25,24,23,21,9,15];
% t=0;%天数
% dot=1;%当前所在地区
% i=1;%日期 i 小于等于 30
% j=1;%记录步数
% water=0;food=0;
% while dot~=15 %到达村庄后结束
% if W1(i)==0
% water=water+C1(3,1);%资源箱数
% food=food+C1(3,2);
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==1
% water=water+2*C1(1,1);%资源箱数
% food=food+2*C1(1,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==2
% water=water+2*C1(2,1);%资源箱数
% food=food+2*C1(2,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% end
% end
% Swater=water*price(1);
% Sfood=food*price(2);
% xiaohao=Swater+Sfood;%消耗资金量
% Mwater=water*pm(1);
% Mfood=food*pm(2);
% m1=Mwater+Mfood;%最少负重
%% 输出起点 1 到矿山 12 的最短路径
% i=1;j=12;
% k=path(i,j);
% disp(i);
% while k~=j
% disp(k);
% k=path(k,j);
% end
% disp(j);
% %由弗洛伊德算法算出从起点 1 到矿区 12 的最短路径是 1-25-24-23-21-9/17-10/15/16-
11/13/14-12
% lu=[25,24,23,21,9,15,13,12];
% t=0;%天数
% dot=1;%当前所在地区
% i=1;
% j=1;%记录步数
% water=0;food=0;
% while dot~=12 %到达矿山后结束
% if W1(i)==0
% water=water+C1(3,1);%资源箱数
% food=food+C1(3,2);
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==1
% water=water+2*C1(1,1);%资源箱数
% food=food+2*C1(1,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==2
% water=water+2*C1(2,1);%资源箱数
% food=food+2*C1(2,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% end
% end
% Swater=water*price(1);
% Sfood=food*price(2);
% xiaohao=Swater+Sfood;%消耗资金量
% Mwater=water*pm(1);
% Mfood=food*pm(2);
% m1=Mwater+Mfood;%最少负重
%% 输出矿山 12 到终点 27 的最短路径
% i=12;j=27;
% k=path(i,j);
% disp(i);
% while k~=j
% disp(k);
% k=path(k,j);
% end
% disp(j);
% %由弗洛伊德算法算出从矿山 12 到终点 27 的最短路径是 12-11-10-9-21-27
lu=[11,10,9,21,27];
t=0;%天数
dot=12;%当前所在地区
i=26;
j=1;%记录步数
water=0;food=0;
while dot~=27 %到达终点后结束
if W1(i)==0
water=water+C1(3,1);%资源箱数
food=food+C1(3,2);
t=t+1;%天数+1
i=i+1;
elseif W1(i)==1
water=water+2*C1(1,1);%资源箱数
food=food+2*C1(1,2);
dot=lu(j);j=j+1;
t=t+1;%天数+1
i=i+1;
elseif W1(i)==2
water=water+2*C1(2,1);%资源箱数
food=food+2*C1(2,2);
dot=lu(j);j=j+1;
t=t+1;%天数+1
i=i+1;
end
end
Swater=water*price(1);
Sfood=food*price(2);
xiaohao=Swater+Sfood;%消耗资金量
Mwater=water*pm(1);
Mfood=food*pm(2);
m1=Mwater+Mfood;%最少负重
%% 计算在矿山挖矿的收益和消耗
mine1=1000-3*C1(1,1)*2*price(1)-3*C1(1,2)*2*price(2);%晴朗天气挖矿收益
cw1=3*C1(1,1)*pm(1);%晴朗天气的水消耗
cf1=3*C1(1,2)*pm(2);%晴朗天气的食物消耗
mine2=1000-3*C1(2,1)*2*price(1)-3*C1(2,2)*2*price(2);%高温天气挖矿收益
cw2=3*C1(2,1)*pm(1);%高温天气的水消耗
cf2=3*C1(2,2)*pm(2);%高温天气的食物消耗
mine0=1000-3*C1(3,1)*2*price(1)-3*C1(3,2)*2*price(2);%沙暴天气挖矿收益
cw0=3*C1(3,1)*pm(1);%沙暴天气的水消耗
cf0=3*C1(3,2)*pm(2);%沙暴天气的食物消耗
%% 分策略进行搜索
%去矿山途中经过村庄，进行一次补给,去到终点的途中再进行补给一次
%到达村庄 15 需要最少的水量数为 98 箱
intwater=98;
intfood=(Lm-intwater*pm(1))/pm(2);
digw=0;digf=0;
smoney=initial-intwater*price(1)-intfood*price(2);
smoney=smoney-2*2*C1(2,1)*price(1)-2*2*C1(2,2)*price(2);
smoney=smoney+(intfood-98)*2*price(2);
for i=11:25
if W1(i)==0
digw=digw+3*C1(3,1);%资源箱数
digf=digf+3*C1(3,2);
elseif W1(i)==1
digw=digw+3*C1(1,1);%资源箱数
digf=digf+3*C1(1,2);
elseif W1(i)==2
digw=digw+3*C1(2,1);%资源箱数
digf=digf+3*C1(2,2);
end
sum=digw*2*price(1)+digf*2*price(2);
nw=0;nf=0;%每次循环都置零
if W1(i+1)==0
nw=nw+C1(3,1);%资源箱数
nf=nf+C1(3,2);
elseif W1(i+1)==1
nw=nw+2*C1(1,1);%资源箱数
nf=nf+2*C1(1,2);
elseif W1(i+1)==2
nw=nw+2*C1(2,1);%资源箱数
nf=nf+2*C1(2,2);
end
if W1(i+2)==0
nw=nw+C1(3,1);%资源箱数
nf=nf+C1(3,2);
elseif W1(i+2)==1
nw=nw+2*C1(1,1);%资源箱数
nf=nf+2*C1(1,2);
elseif W1(i+2)==2
nw=nw+2*C1(2,1);%资源箱数
nf=nf+2*C1(2,2);
end
if sum>smoney-nw*2*price(1)-nf*2*price(2)
break;
end
if (digw+nw+32)*3+(digf+nf+24)*2>Lm
break;
end
end
%当经过补充后，若挖矿日期在第 21 天及以后则无法获得补给，游戏失败
%最好情况为从第 11 天到 17 天挖矿
sum=sum-3*C1(1,1)*2*price(1)-3*C1(1,2)*2*price(2);
mine=0;%挖矿获得的收益
for i=11:15
if W1(i)==0
mine=mine+mine0;
elseif W1(i)==1
mine=mine+mine1;
elseif W1(i)==2
mine=mine+mine2;
end
end
% %lastcost=2*((C1(3,1)*price(1)+C1(3,2)*price(2))+2*(C1(1,1)*price(1)+C1(1,2)*
price(2))+2*2*(C1(2,1)*price(1)+C1(2,2)*price(2)));
% smoney1=smoney-sum;
% smoney2=smoney+mine;
% smoney1=smoney1-2*(C1(1,1)*2*price(1)+C1(1,2)*2*price(2))-
2*(C1(2,1)*2*price(1)+C1(2,2)*2*price(2));
% xiaohao1w=(C1(3,1))+2*(C1(1,1))+2*2*(C1(2,1));
% xiaohao1f=(C1(3,2))+2*(C1(1,2))+2*2*(C1(2,2));
% xiaohao1f=xiaohao1f-smoney1/10;
% smoney2=smoney2-lastcost+smoney1
% water=water-buchong_w;%经过补充后总消耗的资源数
% food=food-buchong_f;
% while t<25
% while shenyu>=(water+food)
% if W1(i)==0
% water=water+C1(3,1);%资源箱数
% food=food+C1(3,2);
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==1
% water=water+
% food=food+2*C1(1,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% elseif W1(i)==2
% water=water+2*C1(2,1);%资源箱数
% food=food+2*C1(2,2);
% dot=lu(j);j=j+1;
% t=t+1;%天数+1
% i=i+1;
% end
% end
% end2*C1(1,1);%资源箱数