《普林斯顿微积分读本》笔记

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第1章：函数、图像和直线

1.1 函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则，起始对象成为输入，来自称为定义域的集合，返回对象成为输入，来自称为上域的集合。

• 一个函数必须给每个有效的输入指定唯一的输入。
• 值域是所有可能的输出所组成的集合。
• 定于域如果没有给出，一般包括实数集尽可能多的部分。需注意：
  1. 分数的分母不能为零。
  2. 不能取一个负数的平方根（或四次根、六次根等）。
  3. 不能取一个负数或零的对数。
• 垂线检查：如果一个图形任何垂线与其相交多于一次，那么它就不是函数的图像；反之如果没有一条垂线和图像相交多于一次，那么它就是函数的图像。

1.2 反函数

给定一个函数ƒ，在ƒ的值域中选择y，在理想状况下，仅有一个x值满足ƒ(x)=y。如上述理想状况对值域中每个y都成立，即不同的输入对应不同的输出，则可定义一个新函数，它将逆转变换，从输出y出发，这个函数发现有且仅有一个输入x满足ƒ(x)=y。这个新函数称为ƒ的反函数，写作ƒ^-1。

• ƒ^-1 的定义域和ƒ的值域相同。
• ƒ^-1 的值域和ƒ的定义域相同。
• ƒ^-1(y) 的值就是满足 ƒ(x)=y 的x，所以，如果 ƒ(x)=y，那么 ƒ^-1(y)=x

• 水平线检验：如果每一条水平线和函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数；如果有水平线和图像相交多于一次，那么这个函数就没有反函数。

  

• 求反函数：如果知道函数的图像，反函数就是原函数沿着y=x这条直线的对称图像。

  

• 反函数的反函数：如果ƒ有反函数，那么对于在ƒ定义域中所有x，ƒ^-1(ƒ(x))=x 均成立；同样，对于在ƒ值域当中所有y，都有 ƒ(ƒ^-1(y))=y。即ƒ^-1是ƒ的反函数，且ƒ是ƒ^-1的反函数。也就是说，反函数的反函数就是原始函数。

1.4 奇函数和偶函数

如果对于ƒ定义域里所有x都有ƒ(-x)=ƒ(x)，则ƒ是偶函数。
如果对于ƒ定义域里所有x都有ƒ(-x)=-ƒ(x)，则ƒ是奇函数。

• 偶函数的图像关于y轴具有镜面对称性。
• 奇函数的图像关于原点有180°的点对称性。
• 两个奇函数之积是偶函数，两个偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积是奇函数。