实验课程:算法分析与设计
实验名称:回溯法的应用[骑士问题] (综设型实验)
第一部分 实验内容
1.实验目标
(1)熟悉使用回溯法求解问题的基本思路。
(2)掌握回溯算法的程序实现方法。
(3)理解回溯算法的特点。
2.实验任务
(1)从所给定的题目中选择一题,使用回溯法求解之。
(2)用文字来描述你的算法思路,包括解空间、限界函数、算法主要步骤等。
(3)使用C/C++语言编程实现算法。
(4)记录运行结果,包括输入数据,问题解答及运行时间。
(5)分析算法最坏情况下时间复杂度和空间复杂度。
(6)谈谈实验后的感想,包括关于该问题或类似问题的求解算法的建议。
3.实验设备及环境
PC;C/C++等编程语言。
4.实验主要步骤
(1) 根据实验目标,明确实验的具体任务;
(2) 设计求解问题的回溯算法,并编写程序实现算法;
(3) 设计实验数据并运行程序、记录运行的结果;
(4) 分析算法时空性能;
(5) 实验后的心得体会。
第二部分 问题及算法
1. 问题描述
[骑士问题]:在n*n的棋盘上,指定马的初始位置,按照马跳日的规则,给出马跳过棋盘每格恰好一次最后回到出发位置的一种跳法。
2.回溯法的一般思路
骑士问题,即马周游棋盘,也就是要遍历棋盘中的所有格子有且只能一次,那么很显然就是一个图的遍历问题了。
3.求解问题的回溯算法描述
1、使用Warnsdorff's rule。在当前位置(Now)考虑下一个位置(Next)的时候,优先选择下一个的位置(Next)走法最少的那个。作为当前位置(Now)的下一位置(Next)。
譬如说:当前位置现在要确定下一位置,那么就要所有的下一个位置进行考察,看看假如走到下一个位置,它的下一个位置又有多少种走法,选择下一个位置可能走法最少的作为当前位置(Now)的下一个位置(Next)。
2、在进行了第一点的剪枝后,如果可以优先选择的下一个位置不止一个,则优先选择离中心位置较远的位置作为下一步(即靠近边边的位置)。
通俗点理解,第一点的剪枝就是走那些位置可能走到机会比较小的,反正走到的机会小,那么先走完总是好的,要不然你兜一圈回来,还是要走这一个位置的。
第二点的剪枝就是走法尽量从边边走,然后是往中间靠。
3、第三点的剪枝,每次都从棋盘的中间点开始出发,然后求出一条合法路径后再平移映射回待求路径。
所谓马周游棋盘,最后还要回到起点。也就是在棋盘中找到一条哈密顿回路。那么不管你是从哪里开始的,最后都是会在这个哈密顿回路中的,那么选取的中点的位置也肯定是在这个回路上的。
最后,找到这个这个以中点为起点的哈密顿回路后,根据设定起点在这个回路中的序号,映射回以这个位置为起点的马周游路线即可。
4. 算法实现的关键技巧
关于第一点和第二点的剪枝,二者关联很大。那么我们可以将二者结合起来。放到一个结构体中,这个结构体表征是的是下一位置。
typedef struct NextPos { int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法;走法少的优先考虑 int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位 int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离;距离中间点远的优先考虑 bool operator < (const NextPos &a) const { return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength; } };
注意其中,下一位置走法少的优先,下一位置距离中点远的优先。
这样我们在挑选下一个位置的时候,可以将符合要求的放到一个优先队列中,这样选取下一位置的时候直接从优先队列拿出了就好了(省去排序的工作)。
(2)关于第三点的剪枝,其实就是涉及到最后输出结果,这个比较简单。
第三部分 实验结果与分析
1. 实验数据及结果
测试数据和运行输出及结果
8*8 从(1,1)开始
2. 实验分析及结论
结论:马可以从任何一格出发恰好访问每个方格一次,并回到起始位置上。
第四部分 心得与展望
1. 自我评价及心得体会
回溯法并不简单,参考了许多资料才略知一二。
2. 展望
超过20的棋盘执行非常缓慢,希望未来能够优化它。
第五部分 附录
源程序
#include <iostream> #include <cstdlib> #include <iomanip> #include <queue> using namespace std; typedef struct { int x; int y; } Step; Step step[8] = { {-2, -1}, {-1, -2}, { 1, -2}, { 2, -1}, { 2, 1}, { 1, 2}, {-1, 2}, {-2,1} }; struct NextPos { int nextPosSteps; //表示下一位置有多少种走法;走法少的优先考虑 int nextPosDirection; //下一位置相对于当前位置的方位 int nextPosToMidLength; //表示当前位置距中间点距离;距离中间点远的优先考虑 bool operator < (const NextPos &a) const { return nextPosSteps > a.nextPosSteps && nextPosToMidLength < a.nextPosToMidLength; } }; int board[100][100]; int M,N; //棋盘大小 //检测这个位置是否可以走 bool check(int x, int y) { if (x >= 0 && x < M && y >= 0 && y < N && board[x][y] == 0) return true; return false; } //下一位置有多少种走法 int nextPosHasSteps(int x, int y) { int steps = 0; for (int i = 0; i < 8; ++i) { if (check(x + step[i].x, y + step[i].y)) steps++; } return steps; } //判断是否回到起点 bool returnStart(int x, int y) { //校验最后是否可以回到起点,也就是棋盘的中间位置 int midx,midy; midx = M / 2 - 1; midy = N / 2 - 1; for (int i = 0; i < 8; ++i) if (x + step[i].x == midx && y + step[i].y == midy) return true; return false; } //输出结果 void outputResult(int xstart,int ystart) { int num = M * N; int k = num - board[xstart][ystart]; for (int i = 0; i < M; ++i) { cout<<endl<<endl; for (int j = 0; j < N; ++j) { board[i][j] = (board[i][j] + k) % num + 1; cout<<setw(5)<<board[i][j]; } } cout<<endl<<endl; } //某一位置距离棋盘中心的距离 int posToMidLength(int x,int y) { int midx = M / 2 - 1; int midy = N / 2 - 1; return (abs(x - midx) + abs(y - midy)); } void BackTrace(int t, int x, int y,int xstart,int ystart) { //找到结果 if (t == M * N && returnStart(x,y)) {//遍历了棋盘的所以位置,并且最后可以回到起点,形成回路 outputResult(xstart,ystart); exit(1); } else { priority_queue<NextPos> nextPosQueue; for (int i = 0; i < 8; ++i) { if (check(x + step[i].x, y + step[i].y)) { NextPos aNextPos; aNextPos.nextPosSteps = nextPosHasSteps(x + step[i].x, y + step[i].y); aNextPos.nextPosDirection = i; aNextPos.nextPosToMidLength = posToMidLength(x + step[i].x,y + step[i].y); nextPosQueue.push(aNextPos); } } while(nextPosQueue.size()) { int d = nextPosQueue.top().nextPosDirection; nextPosQueue.pop(); x += step[d].x; y += step[d].y; board[x][y] = t + 1; BackTrace(t + 1, x, y,xstart,ystart); //回溯 board[x][y] = 0; x -= step[d].x; y -= step[d].y; } } } void horseRun(int xstart,int ystart) { //初始化棋盘 for (int i = 0; i < M; i++) for (int j = 0; j < N; j++) board[i][j] = 0; int midx = M / 2 -1; int midy = N / 2 -1; board[midx][midy] = 1; //从棋盘的中间的位置开始马周游 BackTrace(1, midx, midy,xstart,ystart); } int main() { //马周游起始位置 int x, y; cout<<"请输入棋盘大小m*n 要求:|m-n|<=2 且 m和n都为偶数 且 m,n < 20 :"; cin>>M>>N; cout<<"请输入马周游起始位置--横纵坐标0 <= x < "<<M<<"和0 <= y < "<<N<<" :"; cin>>x>>y; horseRun(x,y); //执行马周游 return 0; }
参考文献
[1] 算法设计技巧与分析 [沙特] M.H.Alsuwaiyel(阿苏外耶)著 (电子工业出版社)