柱面拟合
一、背景
这篇文章是用于通过测量柱面上一些三维点建立方程求解柱面方程，源于python库py_cylinder_fitting，相识于GTE，终于《Least Squares Fitting of Data by Linear or Quadratic
Structures》。
二、圆柱的表达式
无限圆柱由一个包含点C和过点的单位长度方向为W的轴指定。圆柱的半径为r > 0。设右手标准正交集{
U,V,W}，即U,V,W相互垂直，向量积表示为U × V = W，V × W = U，W × U = V，单位向量U · U = V · V = 1，则任意点X都可以表示为
其中，R是一个旋转矩阵，其列是U、V和W，其中Y是一个列向量，其行是y0、y1和y2。在圆柱上，则
得半径
在有限圆柱上
二、最小二乘法损失函数
另输入点集合为{ Xi}，基于公式74得到得圆柱误差函数为
公式里有6个待求参数，分别是1个半径r、点C的3个坐标和W的两个方向向量
为了提高数值计算的稳健性和减少数值计算的误差，我们从样本中减去样本均值，这种方法通常被称为"零均值化"或"中心化"。接下来，设
这里矩阵P表示在W平面上的投影，因此P^2 = P只依赖于方向W。半径ri^2取决于中心C和方向W。误差函数简洁地写成如下形式
三、半径方程式
将误差函数相对于平方半径的偏导数设置为零，我们就有了约束条件
相当于
平方半径是Xi−C在包含C和具有正态W的平面上的投影的平方距离的平均值，取决于C和W。
如果以下等式成立
则
四、中心方程式
将误差函数相对于中心的偏导数设置为零
结合公式78，我们就有了约束条件
将公式80乘PXi的总和，使用公式81得到
C + tW是所有t的有效中心，只要计算出一个没有分量的中心就足够了在w方向；也就是说，我们可以构造一个点，其中C = PC。它足以求解PC的方程（82）写成线性系统A(PC)= B/2
投影矩阵是对称的P = PT ,引入P = P2,则XiT P Xi = XiT P2 Xi = XiT PT P**Xi**
矩阵A是奇异的，因为投影矩阵P是奇异的，所以我们不能直接反转A来求解方程。线性系统涉及的项只存在于垂直于W的平面上，所以实际上线性系统在投影空间中简化为两个未知数的方程，只要系数矩阵是可逆的，它是可解的。
选择U和V，使{
U、V、W}是一个右手标准正交集；然后是PXi =µiU+νiV和PC = k0U + k1V，其中µi=U·Xi、νi = V·Xi、k0 = U·PC和k1 = V·PC。矩阵A变成了
向量B就变成了
向量A(PC)就变成了
将其等于B/2，并将U和V的系数分组，得到线性系统
系数矩阵是样本在垂直于W的平面上的投影的协方差矩阵。直观地说，只要投影不在一条直线上，该矩阵是可逆的。如果矩阵是奇异的（或在数值上几乎是奇异的），则原始样本是在一个平面上（或在数值上几乎是在一个平面上）。它们不能很好地用一个圆柱体安装，或者说它们不能用一个无限半径的圆柱体安装。
方程（87）的矩阵体系的解为
这样就得到了圆柱体中心PC = k0U + k1V；在公式（74）中用这个来代替C。
虽然解决方案似乎取决于U和V的选择，但它不是。设W =（w0、w1、w2），并定义斜对称矩阵
根据倾斜对称的定义，ST =−S。这个矩阵表示任何向量ξ的交叉积运算： Sξ = W×ξ。因为{
U，V ，W}是一个右交标准正交集，所以它遵循SU = V和SV =−U。它还可以显示，S = VUT−UVT。定义矩阵Aˆ为
实际上，这生成了一个2×2矩阵，它是表示A的2×2矩阵的辅助器。它具有属性
一个矩阵的轨迹是对角线项的和。观察到跟踪§ = 2，因为|W| 2 = 1。通过对AˆA=δP的跟踪，我们得到了2δ = Trace（AˆA）。圆柱体中心是通过将A(PC)= B/2乘以Aˆ得到的，使用公式（83）中的定义和公式（91），
其中，最后一个等式使用AˆP=Aˆ，因为STP = ST。方程（92）独立于U和V，但依赖于W。
五、方向方程式
让方向参数化为W(s) =（w0(s)，w1(s)、w2(s)），其中s是一个二维参数。例如，球坐标是这样一个参数化：W =(cos s0 sin s1,sin s0 sin s1,cos s1)，s0∈[0,2π）和s1∈[0，π/2]，其中w2(s0，s1）≥0。E的偏导数是
以封闭形式求解∂E/∂sk=0是难以处理的。可以在W的分量中生成一个多项式方程组，利用消去理论得到一个变量中的多项式，然后找到它的根。这种方法通常很乏味，而且在数值上也不健壮。
或者，我们可以跳过∂E/∂sk=0的根查找，而不是将方程（80）和（92）直接输入误差函数E/n = 1 n P n i=1（ri 2−r 2）2，得到一个非负函数，
可以采用一种定位G的最小值的数值算法。或者，如示例代码中所示，（s0，s1）的域可以被划分为被用来计算G的样本。产生最小G值的样本决定了一个合理的方向w。中心C和平方半径r2是在G的评价中固有的，所以最终我们有一个拟合的圆柱体。对于大量的样本来说，G的计算是昂贵的：方程（94）包含一个项的和，然后是平方，然后是另一个和。
一些代数操作导致封装和，允许我们预先计算和，并将G (W)表示为w分量的有理多项式。这种方法提高了CPU上的性能。它还允许在GPU上实现大规模并行性能的有效实现——从一个半球采样的一个方向向量有一个GPU线程。投影矩阵P由其上三角元素p =（p00、p01、p02、p11、p12、p22）决定。我们可以写在下面，其中p被表示为一个6×1向量，
接下来定义了6个×1向量ξi、µ和δi（写为6个元组）。作为一个3元组，让西=（西，一，子）
最后一个等式是真的，因为P n j=1 Xj = 0意味着P n j=1 XjµT = 0。阐明
其中，Q和F0为3×3，F1为3×6，F2为6×6；然后
对输入样本{Yi} n i=1的预计算如下依次计算。这些步骤与方向向量W无关。
对于每个指定的方向W，依次执行以下步骤。
六、整体流程
首先求方向向量W，再求点P，最后求r2，
预处理伪代码如下：
求解如下：
