1.1 线性空间
什么是数域？数域是一种数集，元素的和、差、积、商仍在数集中（具有封闭性），称为数域。如有理数域Q，复数域C，实数域R
1.1.1定义：
设V是一个非空集合，F是一个数域，在
集合V的元素之间中定义一种规则，即加法规则。在V中的任意两个元素α、β，在进行加法规则之后,所得到的元素ν也在V中，记作：ν=α+β。并且该加法规则满足下面四条法则：
（1）两个加法定律：
① 交换律 α+β = β+α
② 结合律 α+（β +ξ） = （α+β ）+ξ
（2）零元素：
③ 对于V中任意一个元素α，都有α+0 = α
（3）负元素：
④ 对于V中任意一个元素α，都有V中的元素β，使得α+β = 0
Tips:
同时，
在集合V和数域F之间还定义了一种规则，即数乘。对于V中的任意一个元素α与F中的任意一个元素k，在α和k进行数乘之后，在集合V中都有唯一 一个η与之对应，记作：η=α·k。
并且该数乘满足下面四条法则：
（1）两个数乘对应加法的分配率
⑤ 数乘法对抽象的加法的分配率：（α+β）· k = α · k + β · k
⑥ 数乘法对属于中数的分配率：（k + l）· α = k·α + l·α
（2）⑦数域中的两个元素先做乘法再做数乘，等于连续做两次数乘法：k ·（lα）=（kl）·α
（3）⑧F中的乘法单位元1与V中元素α做数乘的时候，α值不变：1 · α = α，
其中，k,l表示数域中对的任意元素，α、β表示集合V中任意元素，称集合V为数域F上的线性空间。
1.1.2三个经典的线性空间例子
例（1）F上的标准线性空间Fn
V:=Fn=F x F x F x …x F(n个F)；（：=,表示“定义”的意思）
加法：
{ V 1 V 2 . . . V n } + { w 1 w 2 . . . w n } = { V 1 + w 1 V 2 + w 2 . . . V n + w n } (1) \left\{ \begin{matrix} V_{1}\\ V_{2}\\ ...\\ V_{n}\\ \end{matrix} \right\} +\left\{ \begin{matrix} w_{1}\\ w_{2}\\ ...\\ w_{n}\\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} V_{1}+w_{1}\\ V_{2}+w_{2}\\ ...\\ V_{n}+w_{n}\\ \end{matrix} \right\}\tag{1} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧V1V2...Vn⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫+⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧w1w2...wn⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧V1+w1V2+w2...Vn+wn⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫(1)
数乘：
{ V 1 V 2 . . . V n } ⋅ K = { V 1 ⋅ K V 2 ⋅ K . . . V n ⋅ K } (2) \left\{ \begin{matrix} V_{1}\\ V_{2}\\ ...\\ V_{n}\\ \end{matrix} \right\} ·K= \left\{ \begin{matrix} V_{1}·K\\ V_{2}·K\\ ...\\ V_{n}·K\\ \end{matrix} \right\}\tag{2} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧V1V2...Vn⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫⋅K=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧V1⋅KV2⋅K...Vn⋅K⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫(2)
例(2)几何空间作为线性空间
V= { 空间有向线段的全体}，F = 实数域R
加法：平行四边形法则/三角形法则
数乘法：同向或反向的伸缩
tips:当两条有效线段经过平移能够重叠，则把这两条线段算成一条线段
例（3）函数空间 F (I , Rn)[F是花体，表示函数，这里用加粗表示]
V = F (I , Rn), F = R。
解释：F 中 I 表示区间，Rn表示n元数组构成的集合，F (I , Rn)中的F叫把所有从I到Rn的向量值函数（n维分量），以这个函数为元素，所构成的集合就叫函数空间
eg:
F([0,1],R 2),表示
f = { f 1 ( x ) f 2 ( x ) } = { s i n ( x ) 1 2 x 3 } (3) f = \left\{ \begin{matrix} f_{1}(x)\\ f_{2}(x)\\ \end{matrix} \right\} =\left\{ \begin{matrix} sin(x)\\ \frac{1}{2} x^{3}\\ \end{matrix} \right\}\tag {3} f={
f1(x)f2(x)}={
sin(x)21x3}(3)
这整个组成的(3)，才算是V 中的一个元素，其中的x是区间[0,1]的同一个取值。
通俗解释:函数空间中的元素是以0,1区间为定义域,具有两个分量的二维向量值函数，把这些元素作为一个元素，则所有这些函数的集合就构称为函数空间
1.1.3 向量组的线性相关性
向量组：α1、α2、α3、…、αp由向量空间中的元素所构成的有限序列;
抽象矩阵： [ α1、α2、α3、…、αp ],以向量空间中元素为元素所拼成的一行p列的矩阵；
线性组合定义：设V是属于F上的线性空间，α1、α2、α3、…、αr(r>=1)是V中一组向量，k1、k2、k3、…、kr是数域F中一组数，若向量α可以被表示成：
α = k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r (4) α = k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+...+k_{r}α_{r} \tag{4} α=k1α1+k2α2+...+krαr(4)
则称α可由α1、α2、α3、…、αr线性表出(示),也称α是α1、α2、α3、…、αr的线性组合。
线性相关：设α1、α2、α3、…、αr(r>=1)，是V中的一组向量。如果在属于中有r个不全为零的数k1、k2、k3、…、kr，使得：
k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k r α r = 0 (5) k_{1}α_{1}+k_{2}α_{2}+...+k_{r}α_{r} = 0\tag{5} k1α1+k2α2+...+krαr=0(5)
则称α1、α2、α3、…、αr线性相关.如果一组向量α1、α2、α3、…、αr不线性相关吗，就称为线性无关。换言之，若只有k1=k2=k3=…=kr，便称α1、α2、α3、…、αr线性无关.
1.1.4向量组的极大线性无关子组
若β1、β2、…、βs为α1、α2、α3、…、αp的子序列，则称β1、β2、…、βs为α1、α2、α3、…、αp的子组。（从母序列中挑出一个子序列构成向量组，这个子序列构成的向量组为原来母序列的子组。）
极大线性无关子组：
若β1、β2、…、βs为α1、α2、α3、…、αp的子组，且β1、β2、…、βs线性无关；若γ1、γ2、…、γt也是α1、α2、α3、…、αp的子组，且β1、β2、…、βs为；若γ1、γ2、…、γt的子组，s<t,且γ1、γ2、…、γt线性相关。那么称β1、β2、…、βs为α1、α2、α3、…、αp极大线性无关子组。
命题：
- 母组可由其极大线性无关子组线性表示
- 子组所含向量的个数是唯一的
向量组的秩：向量组的极大线性无关组所含向量的个数，就称为向量组的秩
1.2基与坐标、坐标变换
1.2.1基与坐标
V是数域F上的线性空间，若有正整数n,及V中的向量组α1、α2、α3、…、αn,使得：
1）α1、α2、α3、…、αn线性无关；
2）任意α，α属于V，均可由α1、α2、α3、…、αn线性表示：
α = α 1 k α 1 + α 2 k 2 + α 3 k α 3 + . . . + α n k n = [ α 1 α 2 α 3 . . . α n ] ⋅ [ k 1 K 2 ⋮ k n ] α = α_{1}kα_{1}+α_{2}k_{2}+α_{3}kα_{3}+...+α_{n}k_{n}=[α_{1} α_{2} α_{3} ... α_{n}] · \left[ \begin{matrix} k_{1} \\ K_{2} \\ \vdots \\ k_{n} \\ \end{matrix} \right] α=α1kα1+α2k2+α3kα3+...+αnkn=[α1α2α3...αn]⋅⎣⎢⎢⎢⎡k1K2⋮kn⎦⎥⎥⎥⎤
称V是n维线性空间,α1、α2、α3、…、αn称为V的一个基（坐标系），[k1、k2、k3、…、kn ]T(属于Fn)称为α（属于V）的坐标向量,沿着该基的坐标向量：【抽象向量】 = 【基矩阵】·【坐标向量】