线性代数(二) 矩阵及其运算

前言

行列式det(A) 其实表示的只是一个值 $\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad -bc$ ，其基本变化是基于这个值是不变。而矩阵表示的是一个数表。

定义

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矩阵与线性变换的关系
即得
$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\x_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\...\\y_n\end{pmatrix}$
可以推矩阵乘法
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即得中的 $y_1=c_{11}=a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_m$

矩阵乘法的提前：第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同

同理可得矩阵加法
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特殊的矩阵

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矩阵的初等变换

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行和列的关系
$\begin{pmatrix} x_1&x_2&...&x_n\end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1&y_2&..&y_n\end{pmatrix}$

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初等变换与矩阵乘法的关系

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$E_m(i,j)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行与j行对调 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ...& 1_{i行}& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 1_{j行} & ...& 0& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m$
$E_m(i(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m 的 i行乘于常数k \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & k_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m$
$E_m(ij(k))=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & 0 & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m i行的k倍加到j上 \begin{pmatrix} 1 & 0 & ...& 0& 0\\ 0 & 1_{i行} & ...& 0& 0\\ ... & ... & ...& ....& ....\\ 0 & k_{j行} & ...& 1_{j行}& 0\\ 0 & 0 & ... & 0& 1\end{pmatrix}_m$
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矩阵的运算

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矩阵乘法运算规律

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矩阵的转置

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$A_{n*m} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & ...& a_{2n}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{m1} & a_{m2} & ...& a_{mn}\end{pmatrix} 转置为 A_{n*m}^T \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & ...& a_{m1}\\ a_{12} & a_{22} & ...& a_{m2}\\ ... & ... & ...& ....\\ a_{1n} & a_{2n} & ...& a_{mn}\end{pmatrix}$

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例如：矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\end{pmatrix}$ 的转置矩阵就是 $B^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6\end{pmatrix}$

反对称矩阵

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方阵的行列式

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伴随矩阵

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根据行列式和矩阵乘法的公式刚好得出 $AA^*=|A|E$

可逆矩阵(或称非奇异矩阵)

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结合伴随矩阵的公式

根据 $AA^*=|A|E$
结合行列式公式 $∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$
得出 $∣ A ∣∣ A * ∣ = ∣ A ∣$
得出 $A^*|=1$
所以 $|A^{-1}|=\cfrac{1}{|A|}$

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共轭矩阵

a+bi（a,b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数，即 a-bi

举例：在这里插入图片描述

分块矩阵

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上述指将矩阵按行或者列分块

分块矩阵的其它性质

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利用初等变化转为对角矩阵，方便计算

克拉默法则证明

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把方程组写成矩阵方程 Ax = b，这里 $A=(a_{ij})_{n*n}$ 为 n 阶矩阵
因 |A| ≠ 0，故 $A^{-1}$ 存在。令 $x=A^{-1}b \Rightarrow Ax=AA^{-1}b$ ，表明 $x=A^{-1}b$ 是方程组的解向量。
由于逆矩阵公式 $A^{-1}=\cfrac{1}{|A|}A^*$ ,有 $x=\cfrac{1}{|A|}A^*b$
$x_j=\cfrac{1}{|A|}(b_1A_{1j} + b_2A_{2j}+...+b_nA_{nj})$
$x_j=\cfrac{1}{|A|}|A_j| (j=1,2,3,...n)$

分块矩阵乘法证明

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我们通过验证分块矩阵乘法得到的元素与通用乘法得到元素是否一致，来证明分块乘法的可靠性，以 $c_{32}$ 为例：
$c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \\b_{32} \end{pmatrix}$
与他对应是 $C_{11}=A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21}$ 中的 $c_{32}$
$c_{32}= \begin{pmatrix} a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{12} \\b_{22} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{32} \end{pmatrix}$

主要参考

《矩阵的转置》
《克拉默法则》
《共轭矩阵》
《分块矩阵的初等变换（3）行列式不变吗?》
《矩阵分块乘法的原理是怎么样的？》