自控系统各种标准型整理（附例题）

1. 状态空间相关知识铺垫

在阅读本文之前，默认读者已经知晓状态空间的相关知识，包括：

• 状态空间的表达形式不止一种，可以在$\tilde{x}=Tx$的基础上进行变换；
• 状态空间是用来研究系统动态过程内部变量的一种手段，其所选取的状态变量$x_i$的方式不止一种；
• 系统中所有状态变量$x_i$并不是必须具有物理意义，有时只是为了数学表示方便而设立；同样也并不是每个状态变量都会被观测或测量到。

本文的所有状态空间表达式，都是基于如下微分方程建立的：
$$\begin{gathered} y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_{0}y= \\ {b}_n{u}^{(n)}+b_{n-1}{u}^{(n-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$注意，上式中，$y^{(n)}$前的系数$a_n=1$。

而目的是将其写成如下状态空间形式：
$$\begin{gathered} \dot{\mathbf{X}}=\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}\mathbf{U} \\ \mathbf{Y}=\mathbf{C}\mathbf{X}+\mathbf{D}\mathbf{U} \end{gathered}$$

2. 系统输入量中【不含有】导数项

即式(1)右端仅含$u$，式(1)变为：
$$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_{0}y=b_{0}u\text{\hspace{1em}(2)}$$此时状态量选择为：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}=x_n\\ {\dot{x}}_n=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+b_{0}u\\ y=x_1\end{array}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ b_0\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(3)}$$

3. 系统输入量中【含有】导数项

此时系统的微分方程即具有式(1)的形式：
$$\begin{gathered} y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_{0}y= \\ {b}_n{u}^{(n)}+b_{n-1}{u}^{(n-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$此时状态量选择为：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2+h_{1}u\\ {\dot{x}}_2=x_3+h_{2}u\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}=x_n+h_{n-1}u\\ {\dot{x}}_n=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+h_{n}u\\ y=x_1+h_{0}u\end{array}$$其中的新参数$h_i$为：
$$\begin{gathered} h_0=b_n \\ {h}_i=b_{n-i}-\sum _{j=1}^i{a}_{n-j}{h}_{i-j}\text{\hspace{1em}(4)} \end{gathered}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ ⋮\\ h_{n-1}\\ h_n\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right],\mathbf{D}=h_0\text{\hspace{1em}(5)}$$可见矩阵$\mathbf{A}$与式(3)中的一样。

4. 系统输入量中【含有】导数项，但${\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}=0$

此时系统的微分方程(1)右端从$b_{n-1}{u}^{(n-1)}$开始：
$$\begin{gathered} y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_{0}y= \\ {b}_{n-1}{u}^{(n-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$代入式(4)很容易知道，$h_0=0$，则此时可以按照如下规则，选取新的一组状态变量：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=-a_0{x}_n+b_{0}u\\ {\dot{x}}_2=x_1-a_1{x}_n+b_{1}u\\ ⋮\\ {\dot{x}}_{n-1}=x_{n-2}-a_{n-2}{x}_n+b_{n-2}u\\ {\dot{x}}_n=x_{n-1}-a_{n-1}{x}_n+b_{n-1}u\\ y=x_n\end{array}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

5. 可控标准型

此时系统的微分方程即具有式(1)的形式：
$$\begin{gathered} y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+a_{n-2}{y}^{(n-2)}+\cdots +a_2\ddot{y}+a_1\dot{y}+a_{0}y= \\ {b}_n{u}^{(n)}+b_{n-1}{u}^{(n-1)}+\cdots +b_1\dot{u}+b_{0}u\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$此时状态量选择为：
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=x_3\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n=-a_0{x}_1-a_1{x}_2-\cdots -a_{n-1}{x}_n+u\\ y=-{\beta }_0{x}_1-{\beta }_1{x}_2-\cdots -{\beta }_{n-1}{x}_n\end{array}$$其中的新参数${\beta }_i$为：
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_0=b_0-a_0{b}_n\\ {\beta }_1=b_1-a_1{b}_n\\ ⋮\\ {\beta }_i=b_i-a_i{b}_n\\ ⋮\\ {\beta }_{n-2}=b_{n-2}-a_{n-2}{b}_n\\ {\beta }_{n-1}=b_{n-1}-a_{n-1}{b}_n\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}{\beta }_0& {\beta }_1& \cdots & {\beta }_{n-1}\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(8)}$$

6. 可观标准型

可观标准型即为可控标准型的转置：
$${\mathbf{A}}_c={{\mathbf{A}}_o}^T,{\mathbf{B}}_c={{\mathbf{C}}_o}^T,{\mathbf{C}}_c={{\mathbf{B}}_o}^T$$其中下标$c,o$分别表示可控和可观矩阵。由此得到：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& -a_0\\ 1& 0& \cdots & 0& -a_1\\ 0& 1& \cdots & 0& -a_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1& -a_{n-1}\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{\beta }_0\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\\ ⋮\\ {\beta }_{n-1}\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(9)}$$

7. 传递函数特征方程【无重根时】的约当型

注意：此类型只能在传递函数的特征方程没有重根时使用！

根据状态变量的选取方式不同，一般约当型有2种表达方式。

由式(1)可以写出复平面内的传递函数关系式：
$$W(s)=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{s^n+a_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +a_{1}s+a_0}=\frac{N(s)}{D(s)}$$其中$D(s)=0$是传递函数的特征方程，其特征根为${\lambda }_i$。那么分母可以写为：
$$D(s)=\left(s-{\lambda }_1\right)\left(s-{\lambda }_2\right)\cdots \left(s-{\lambda }_n\right)$$此时传递函数即：
$$W(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{b_n{s}^n+b_{n-1}{s}^{n-1}+\cdots +b_{1}s+b_0}{\left(s-{\lambda }_1\right)\left(s-{\lambda }_2\right)\cdots \left(s-{\lambda }_n\right)}$$展开即得：
$$W(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{Y(s)}{U(s)}=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}\text{\hspace{1em}(10)}$$其中$c_i$为传递函数$W(s)$在极点${\lambda }_i$处的留数：
$$c_i=\left(s-{\lambda }_i\right)W(s){|}_{s={\lambda }_i}\text{\hspace{1em}(11)}$$从而
$$Y(s)=\sum _{i=1}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}U(s)$$

7.1 第一型

设状态变量为
$$X_i(s)=\frac{1}{s-{\lambda }_i}U(s)$$则有
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1={\lambda }_1{x}_1+u\\ {\dot{x}}_2={\lambda }_2{x}_2+u\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n={\lambda }_n{x}_n+u\\ y=c_1{x}_1+c_2{x}_2+\cdots +c_n{x}_n\end{array}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& & & & \\ & {\lambda }_2& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & {\lambda }_{n-1}& \\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\\ 1\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}{c}_1& c_2& \cdots & c_n\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(12)}$$其中$\mathbf{A}$为对角矩阵，主对角线上元素为所有特征根${\lambda }_i$，而其余元素均为0。

7.2 第二型

设状态变量为
$$X_i(s)=\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}U(s)$$与第一型相比，$X_i(s)$的分子不再是1而是$c_i$。则有
$$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1={\lambda }_1{x}_1+c_{1}u\\ {\dot{x}}_2={\lambda }_2{x}_2+c_{2}u\\ ⋮\\ {\dot{x}}_n={\lambda }_n{x}_n+c_{n}u\\ y=x_1+x_2+\cdots +x_n\end{array}$$其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& & & & \\ & {\lambda }_2& & & \\ & & \ddots & & \\ & & & {\lambda }_{n-1}& \\ & & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_{n-1}\\ c_n\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(13)}$$其中$\mathbf{A}$为对角矩阵，与第一型相同。

8. 传递函数特征方程【有重根时】的约当型

这里以一个含有三重根的特征方程为例。设此时的特征方程为
$$D(s)={\left(s-{\lambda }_1\right)}^3\left(s-{\lambda }_4\right)\cdots \left(s-{\lambda }_n\right)$$其中${\lambda }_1$为三重实极点，其余${\lambda }_i(i\ne 1)$为单实极点。则传递函数此时可以分解为：
$$W(s)=\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{c_{11}}{{\left(s-{\lambda }_1\right)}^3}+\frac{c_{12}}{{\left(s-{\lambda }_1\right)}^2}+\frac{c_{13}}{\left(s-{\lambda }_1\right)}+\sum _{i=4}^n\frac{c_i}{s-{\lambda }_i}\text{\hspace{1em}(14)}$$其状态变量选取方法和第一型、第二型相同。此时的状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& 1& & & & \\ & {\lambda }_1& 1& & 0& \\ & & {\lambda }_1& & & \\ & & & {\lambda }_4& & \\ & 0& & & \ddots & \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}& c_4& \cdots & c_n\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(15)}$$或者如下形式亦可：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccccc}{\lambda }_1& & & & & \\ 1& {\lambda }_1& & & 0& \\ & 1& {\lambda }_1& & & \\ & & & {\lambda }_4& & \\ & 0& & & \ddots & \\ & & & & & {\lambda }_n\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{c}_{11}\\ c_{12}\\ c_{13}\\ c_4\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$$$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 1& 1& \cdots & 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(16)}$$应当解释的是，在式(15)和(16)中，$\mathbf{A}$不再是完全的对角阵，由于重根${\lambda }_1$的存在，${\lambda }_1$在$\mathbf{A}$中对应有一个子块，其内部为上三角或下三角的带有1的矩阵（如$\mathbf{A}$左上角的子块）。除此之外，在B或C中，与之对应的也有其留数的子块。$\mathbf{A}$、$\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$中的子块阶数均与${\lambda }_1$的重数相同，如本例中${\lambda }_1$为三重根，则$\mathbf{A}$左上角的子块为三阶，$\mathbf{B}$、$\mathbf{C}$中的子块也为三阶。本文均以细线将子块分隔出以便标明。

9. 例题

9.1 系统输入量中【不含有】导数项

设系统的微分方程为
$$y^{(3)}+2\ddot{y}+5\dot{y}+2y=2u$$可见$n=3$，则其系数可以立即写出：$a_0=2,a_1=5,a_2=2,a_3=1;b_0=2$。代入式(3)有：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& -5& -2\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ b_0\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right],\mathbf{D}=0$$

9.2 系统输入量中【含有】导数项

设系统的微分方程为
$$y^{(3)}+2\ddot{y}+5\dot{y}+2y=2\ddot{u}+3\dot{u}+u$$可见$n=3$，则其系数可以立即写出：$a_0=2,a_1=5,a_2=2,a_3=1;b_0=1,b_1=3,b_2=2,b_3=0$。代入式(4)先计算$h_i$：
$$\begin{gathered} h_i=b_{n-i}-\sum _{j=1}^i{a}_{n-j}{h}_{i-j}⟹ \\ {h}_0=b_n=b_3=0, \\ {h}_1=b_{3-1}-\sum _{j=1}^1{a}_{3-j}{h}_{1-j}=b_2-a_2{h}_0=2, \\ {h}_2=b_{3-2}-\sum _{j=1}^2{a}_{3-j}{h}_{2-j}=b_1-a_2{h}_1-a_1{h}_0=3-2\times 2=-1 \\ {h}_3=b_{3-3}-\sum _{j=1}^3{a}_{3-j}{h}_{3-j}=b_0-a_2{h}_2-a_1{h}_1-a_0{h}_0=1+2\times 1-5\times 2=-7 \end{gathered}$$代入式(5)有：
其状态空间矩阵为：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& -5& -2\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{h}_1\\ h_2\\ h_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\\ -7\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\end{array}\right],\mathbf{D}=h_0=0$$

9.3 系统输入量中【含有】导数项，但${\mathbf{b}}_{\mathbf{n}}=0$

仍以9.3中微分方程为例，注意到其$b_n=b_3=0$。那么可以代入式(6)：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& -5\\ 0& 1& -2\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}{b}_0\\ b_1\\ ⋮\\ b_{n-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 3\\ 2\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

9.4 可控标准型

设系统微分方程为：
$$y^{(3)}+2\ddot{y}+3\dot{y}+3y=2u^{(3)}+\ddot{u}+3\dot{u}+4u$$可见$n=3,a_0=3,a_1=3,a_2=2,a_3=1;b_0=4,b_1=3,b_2=1,b_3=2$。代入式(7)计算参数${\beta }_i$：
$$\{\begin{array}{l}{\beta }_0=b_0-a_0{b}_n=4-3\times 2=-2,\\ {\beta }_1=b_1-a_1{b}_n=3-3\times 2=-3,\\ {\beta }_2=b_2-a_2{b}_n=1-2\times 2=-3\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$再代入式(8)即得：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -3& -3& -2\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccc}-2& -3& -3\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(8)}$$

9.5 可观标准型

由于可观标准型即为可控标准型的转置，则可以立即写出：
$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -3\\ 1& 0& -3\\ 0& 1& -2\end{array}\right]$$$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}-2\\ -3\\ -3\end{array}\right],\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right],\mathbf{D}=0\text{\hspace{1em}(8)}$$