旋转卡壳入门+模板题（POJ 2187）

最初接触旋转卡壳（应该读xuán zhuǎn qiǎ ké）是在CSU上的一道题（这道题至今没A，也不知道是是吗玄学操作），不过这不重要，重要是学到了新知识！

一些历史

1978年， M.I. Shamos’s Ph.D. 的论文”Computational Geometry”标志着计算机科学的这一领域的诞生。当时他发表成果的是一个寻找凸多边形直径的一个非常简单的算法，即根据多边形的一对点距离的最大值来确定。
后来直径演化为由一对对踵点对来确定。 Shamos提出了一个简单的 O(n) 时间的算法来确定一个凸 n 角形的对踵点对。因为他们最多只有 3n/2 对，直径可以在 O(n) 时间内算出。
如同Toussaint后来提出的， Shamos的算法就像绕着多边形旋转一对卡壳。因此就有了术语“旋转卡壳”。 1983年， Toussaint发表了一篇论文，其中用同样的技术来解决许多问题。从此，基于此模型的新算法就确立了，解决了许多问题。
他们包括：
计算距离
凸多边形直径
凸多边形宽
凸多边形间最大距离
凸多边形间最小距离
外接矩形
最小面积外接矩形
最小周长外接矩形
三角剖分
洋葱三角剖分
螺旋三角剖分
四边形剖分
凸多边形属性
合并凸包
找共切线
凸多边形交
临界切线
凸多边形矢量和
最薄截面
最薄横截带

然后就讲一下旋转卡壳算法思想：重点内容

简单来说就是用一对平行线“卡”住凸包进行旋转。

被一对卡壳正好卡住的对应点对称为对踵点（如下图）
这里写图片描述
可以证明对踵点的个数不超过3N/2个也就是说对踵点的个数是O(N)的
对踵点的个数也是我们下面解决问题时间复杂度的保证

有两种卡壳情况：
一、两个平行线正好卡着两个点
这里写图片描述
二、分别卡着一条边和一个点

在第二种情况中我们可以看到一个对踵点和对应边之间的距离比其他点到那条边的距离要大
也就是一个对踵点和对应边所形成的三角形面积是最大的下面我们会据此得到对踵点的简化求法。

黄色那个三角形的上顶点就是底边的对踵点

根据上面的第二种情况，我们可以得到下面的方法：
这里写图片描述
如果qa，qb是凸包上最远两点，必然可以分别过qa，qb画出一对平行线。通过旋转这对平行线，我们可以让它和凸包上的一条边重合,如图中蓝色直线，可以注意到，qa是凸包上离p和qb所在直线最远的点。于是我们的思路就是枚举凸包上的所有边，对每一条边找出凸包上离该边最远的顶点，计算这个顶点到该边两个端点的距离，并记录最大的值。

直观上这是一个O(n2)的算法，和直接枚举任意两个顶点一样了。

然而我们可以发现凸包上的点依次与对应边产生的距离成单峰函数（如下图：）
这里写图片描述
这个性质就很重要啦。

根据这个凸包的特性，我们注意到逆时针枚举边的时候，最远点的变化也是逆时针的，这样就可以不用从头计算最远点，而可以紧接着上一次的最远点继续计算。于是我们得到了O(n)的算法。这就是所谓的“旋转”吧！
利用旋转卡壳，我们可以在O（n）的时间内得到凸包的对锺点中的长度最长的点对。
又由于最远点对必然属于对踵点对集合，那么我们先求出凸包然后求出对踵点对集合然后选出距离最大的即可。
那么具体的代码就很容易实现了，利用叉积。

学习就要趁热打铁啦
一道模板题：POJ 2187 Beauty Contes

AC代码如下：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;

const int MAXN=50000+7;

struct Points{
    int x,y;
    Points(int x=0,int y=0):x(x),y(y){}
};

typedef Points Vector;
Vector operator -(Points A,Points B){
    return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
int n,m,maxdis;
Points p[MAXN],ch[MAXN];

int Cross(Vector A,Vector B){
    return A.x*B.y-A.y*B.x;
}

bool cmp(Points a,Points b){
    bool ret=false;
    if(a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y)) ret=true;
    return ret;
}
void ConvexHull(){
    sort(p,p+n,cmp);
    m=0;
    for(int i=0;i<n;++i){
        while(m>1&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2])<=0)m--;
        ch[m++]=p[i];
    }
    int k=m;
    for(int i=n-2;i>=0;--i){
        while(m>k&&Cross(ch[m-1]-ch[m-2],p[i]-ch[m-2])<=0)m--;
        ch[m++]=p[i];
    }
    if(n>1) m--;
} 

int dis(Points a,Points b){
    return (b.x-a.x)*(b.x-a.x)+(b.y-a.y)*(b.y-a.y);
}
void rotating_caliper(){
    if(n==3){
        maxdis=max(dis(p[0],p[1]),dis(p[0],p[2]));
        maxdis=max(maxdis,dis(p[1],p[2]));
    }else{
        int j=2;
        for(int i=0;i<m;++i){
            while(abs(Cross(ch[i]-ch[i+1],ch[j]-ch[i+1]))<abs(Cross(ch[i]-ch[i+1],ch[j+1]-ch[i+1]))){
                j=(j+1)%m;
            }
            maxdis=max(maxdis,dis(ch[i],ch[j]));
        }
    }
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;++i){
        cin>>p[i].x>>p[i].y;
    }
    maxdis=-1;
    if(n==2){
        maxdis=dis(p[0],p[1]);
    }else{
        ConvexHull();
        rotating_caliper();
    }
    cout<<maxdis;
    return 0;
}

旋转卡壳入门+模板题（POJ 2187）

一些历史

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