树状数组的奇妙应用，99%的人都不知道！

提到树状数组，大多数人的印象是只能求区间的前缀和。然而，树状数组还有很多其他的用法，用来替代线段树可有效降低空间复杂度和代码长度。
贴一份前缀和代码以供参考。

int c[maxn];
int n;//可能的下标最大值
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
void add(int p,int v)//修改单点
{
    while(p<=n)
    {
        c[p]+=v;
        p+=lowbit(p);
    }
}
int prefix_sum(int p)//前缀和
{
    int sum=0;
    while(p)
    {
        sum+=c[p];
        p-=lowbit(p);
    }
    return sum;
}

维护后缀信息

只要把修改操作和查询操作的遍历顺序反过来，就可以存储后缀信息！
原理是c[i]现在存储从i往后数lowbit(i)个位置的信息

void add(int p,int v)
{
    while(p)
    {
        c[p]-=v;
        p+=lowbit(p);
    }
}
int suffix_sum(int p)
{
    int sum=0;
    while(p<=n)
    {
        sum+=c[p];
        p+=lowbit(p);
    }
    return sum;
}

这个实用性并没有想象中的大，因为所有后缀信息问题都可以转换成前缀问题。

维护最值

以维护最大值为例

void insert(int p,int v)
{
    while(p<=n)
    {
        c[p]=max(c[p],v);
        p+=lowbit(p);
    }
}
int prefix_max(int p)
{
    int mx=0;
    while(p)
    {
        mx=max(mx,c[p]);
        p-=lowbit(p);
    }
    return sum;
}

因为最值不满足区间可减性（已知(a,b)和(a,c)的答案不能得出(b,c)的答案），所以只能求前缀的最大值，是不能像线段树一样任意求出(l,r)的最值的。和线段树一样，不能修改。

查询第k大

分析c[i]的实际意义：从c[i]往前数lowbit(i)个的和。lowbit是二进制最后一个1代表的大小，因此我们可以按位讨论第k大数的位置，复杂度O(logn)，并不是必须外层二分套里面的查前缀和

int base;
void init()
{
    base=1;
    while(base*2<=n)
        base<<=1;
}
void insert(int p)
{
    while(p<=n)
    {
        c[p]++;
        p+=lowbit(p);
    }
}
int kth(int k)
{
    int p=0;
    for(int step=base;step;step>>=1)
    {
        if(p+step<=n&&k>c[p+step])
        {
            p+=step;
            k-=c[p];
        }
    }
    return p+1;
}

这个只能求所有数据中的第k大，不如线段树灵活。权值线段树可以自定义L,R求$L<x<R$的第k大的数。而相比于静态的二分，它的优点是可以随时插入和删除元素。这有效填补了set功能中的一个空白。