高数笔记：函数与极限

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函数

数域

数域是对加减乘除闭合的数集合。

有理数集合Q是一个数域。

$Q = \{\frac{m}{n} | m, n \in Z, n > 0, (m, n) = 1 \}\space$

证明无理数

设p为正素数，求证：$\sqrt{p}为无理数\space$
$证明：下面用反证法证明。\space$
$假设 \sqrt{p} 为有理数，则存在正整数 m, n，(m, n) = 1 且 \sqrt{p} = \frac{m}{n}\space$
$对等式两边取平方得 pn^2 = m^2，故 (m, p) = p\space$
$设 m = kp，则 pk^2 = n^2，故 (n, p) = p\space$
$得 (m, n) = p,与 (m, n) = 1 矛盾，故 \sqrt{p}为无理数，证毕\space$

实数域

实数集合R为有序数域，即任意两个数有大小关系。

实数域的完备性（连续性）：任意一个单调有界序列有极限存在。

绝对值不等式

$|a| - |b| < |a\pm b| < |a| + |b|\space$

|x - a| < r 即 a - r < x < a + r

|x - a| > r 即 x > a + r 或 x < a - r

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证明无理数在数轴上处处稠密

证明：$设A_n = \{\frac{m}{10^n} | m \in Z\} 使得 \frac{1}{10^2} < (b - a) 即 1 + 10^na < 10^nb\space$
$则 A\subseteq Q 且 a < \frac{[10^na] + 1}{10^n} < b ，证毕$

基本初等函数

常数函数：
$y = c (x\in R)\space$

幂函数：
$y = x^a(a\neq 0) (x > 0)\space$

指数函数：
$y = a^x (a > 0 且 a\neq 1 ) (x\in R)\space$

对数函数：
$y = \log_ax(a > 0 且 a\neq 1 ) (x\in (0, +\infty))\space$

三角函数：
$y = \sin x\space\space\space y = \cos x\space\space\space y = \tan x\space$
$y = \cot x\space\space\space y = \sec x\space\space\space y = \csc x\space$

反三角函数：
$y = \arcsin x\space\space\space y = \arccos x\space\space\space y = \arctan x\space$

初等函数是基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的函数。

有界函数

$若\exists C，|f(x)| \leq C，\forall x\in X\ ，则f(x)为有界函数\ $

特殊函数

狄利克雷函数
D(x) =
1，x为有理数
0，x为无理数

双曲函数
$\sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\space\space\space \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\space$

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极限

定义极限

$对数列 \{a_n\}，若 \exists l_0 ， 对\forall \epsilon > 0 ，\exists N使得 | a_n - l_0| < \epsilon，只要n > N\space$
$则\{a_n\}的极限存在，\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n = l\space$

夹逼定理

$设\{a_n\}\{b_n\}\{c_n\}，\exists N_0使得c_n\leq a_n\leq b_n，只要n\geq N_0\ $
$则当\lim_{n\rightarrow+\infty}c_n = \lim_{n\rightarrow+\infty}b_n = l时，a_n极限存在，\lim_{n\rightarrow+\infty}a_n = l\ $

重要极限

$\lim_{n\rightarrow+\infty}(1+\frac{1}{n})^n = e \approx 2.182818\ $

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