图像插值——线性差值

理论基础

线性插值：两点确定一条直线，线上的未知点的值可由直线方程确定。

在二维空间中，需要将线性差值拓展到双线性插值。

设A、B、C、D的像素值分别为A、B、C、D。
P1的像素值为 $P1=1/row\times ((row-a)A+aB)$
P2的像素值为 $P2=1/row\times ((row-a)C+aD)$
P的像素值为 $P=1/col\times ((col-b)P1+bP2)$
将P1、P2代入得
$$P=\frac{1}{col\times row}\times \left[(row-a)(clo-b)A+a(col-b)B)+a(row-a)C+abD\right]$$
注：如果将P点投影到原图像进行插值，则row和col值为1、1。

编码实现（Python）

# coding=utf-8
import cv2
import numpy as np

def Bilinear(img, up_height, up_width, channels):
    bilinear_img = np.zeros(shape=(up_height, up_width, channels), dtype=np.uint8)
    img_height, img_width, img_channels = img.shape
    for i in range(up_height):
        for j in range(up_width):
            row_up = int(i * img_height/up_height) # 原图像左像素点
            col_left = int(j * img_width/up_width) # 原图像上像素点
            row_bottom = row_up + 1
            col_right = col_left + 1
            if row_bottom == img_height: 
                row_bottom -= 1 
            if col_right == img_width:
                col_right -= 1
            a =  j * img_width / up_width - col_left
            b = i * img_height / up_height - row_up
            # 这里定义bilinear_img已经强制了数据类型\
            bilinear_img[i][j] = (  \
                (1 - a) * (1 - b) * img[row_up][col_left] + \
                a * (1 - b) * img[row_up][col_right] + \
                (1 - a) * b * img[row_bottom][col_left] + \
                a * b * img[row_bottom][col_right] \
            )

    return bilinear_img

if __name__ == "__main__":
    # 无法处理透明度通道（压根就没读进来）
    img_source = cv2.imread(r"Image_restoration\source\1.png")
    img_height, img_width, img_channels = img_source.shape
    print("height {}, width {}, channels {}".format( img_height, img_width, img_channels))

    times = 3 # 放大3倍
    up_height = int(img_height * times)
    up_width = int(img_width * times)
    print("up_height {}, up_width {}".format(up_height, up_width))
    bilinear_img = Bilinear(img_source, up_height, up_width, img_channels)

    cv2.imshow("img_source", img_source)
    cv2.imshow("bilinear_img", bilinear_img)
    cv2.imwrite(r"Image_restoration\result\1_bilinear.png", bilinear_img)
    cv2.waitKey(0)
    cv2.destroyAllWindows()

效果展示

1. 利用双线性插值将图像放大后，色块减少，但清晰效果依然十分有限。
   

其他权重

双线性插值公式为P点附近四个点设计了一个权重。
我们也可以采用其他形式的权重。如：

1. 高斯分布
   设距离为r，则利用高斯公式计算其权重为：
   $$\omega (\mathbf{r})={\mathbf{e}}^{-(\epsilon \mathbf{r}{)}^2}$$
   注：因为要对权重进行归一化，所以这里直接舍去了将会被约去的系数。
   
   在如下二维空间中。
   
   P点像素值为
   $$P=\frac{1}{\omega (a)+\omega (b)+\omega (c)+\omega (d)}[\omega (a)\times A+\omega (b)\times B+\omega (c)\times C+\omega (d)\times D]$$

博主做出来的效果一般般。