欧几里德算法与拓展欧几里德算法详解（（Extended) Euclidean Algorithm）

欧几里德算法（Euclidean algorithm）又叫做辗转相除法，用于求最大公约数。这个算法已经十分常见了。扩展欧几里德算法（Extended Euclidean algorithm）是欧几里德算法的扩展（废话……），这个算法在解不定方程的时候十分常见。

搬运自：https://skywt.cn/posts/euclidean-algorithm/
原文公式按照KaTeX语法，与本文不同（当然我经过了修改～），如果本文中公式显示有异常可以到原文查看。

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本文中 (a,b) 或者 gcd(a,b) 表示 a、b 的最大公约数； a|b 表示 a 整除 b。

欧几里德算法/辗转相除法

在数学中，辗转相除法，又称欧几里得算法（英语：Euclidean algorithm），是求最大公约数的算法。辗转相除法首次出现于欧几里得的《几何原本》（第VII卷，命题i和ii）中，而在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》。、
——维基百科

代码

在我们日常的题目里辗转相除法已经十分常见了，最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD,所以函数名就是gcd（当然扩欧的函数名就是exgcd）。其主要代码段是这样的：

int gcd(int a,int b){
    if (b==0) return a;
    return gcd(b,a%b);
}

以上代码其实可以优化成以下这样（其实优化的是代码的复杂度，时间空间还是一样）：

int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

原理和证明

辗转相除法的原理是什么呢？显然gcd(a,b)的作用是求出a、b的最大公约数（在数学语言里直接用(a,b)表示a、b的最大公约数）。如果b为0就返回a的值不难理解，这说明已经找到了最大公约数a。关键在于：

$$\displaystyle (a,b) = (b,a \bmod b)$$
关于这个等式证明如下：

$$\displaystyle a=kb+r \iff r=a-kb=a \bmod b. (a,b,k,r \in N^+, r<b)$$

$$\text{假设 d 是 a、b 的一个公约数，则 } d \mid a , d \mid b$$

$$\therefore d \mid a-kb \iff d \mid a \bmod b$$

$$\therefore (a,b) \iff (b,a \bmod b)$$

通俗点说，d是a、b两个数的公约数，又是b、a mod b的公约数，所以a、b的公约数集与b、a mod b的公约数集相同，它们的最大公约数必然也相同。（用 KaTeX 公式真是太爽了）

扩展欧几里德算法

扩展欧几里德算法（Extended Euclidean algorithm）就像是欧几里德算法的逆运算。

用途

主要有以下几种用途：

1. 求解不定方程；
2. 求解模线性方程（线性同余方程）；
3. 求解模的逆元。

求解不定方程的方法

个人觉得求解不定方程这个用途比较常见。可以方便地用来解这样的不定方程（传说中的裴蜀等式）：

$$ax+by=c$$

其实我们要解这个补不定方程，就要先解出ax+by=gcd(a,b)。基于这两个事实：

1. 给予二个整数a、b，必存在整数x、y，使得 ax+by=gcd(a,b)。
2. 对于方程 ax+by=c，当且仅当 gcd(a,b)|c 时这个方程有解。

容易证明，如果我们求出方程 ax+by=gcd(a,b) 的一组特殊解x0、y0，则最后方程解为：

$$\begin{cases} x= x_0 + \frac b {(a,b)} \\ y= y_0 - \frac a {(a,b)} \end{cases}$$

那么如何“求出方程 ax+by=gcd(a,b) 的一组特殊解”？这时候拓展欧几里德算法就派上用场了。

代码

二话不说，先上代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){ //x、y变量用来传递求得的特殊解
    if(b==0){ //判断递归边界，b=0说明到底了
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y),t=x; //先递归把之前的都做完
    x=y;y=t-a/b*y;
    return r;
}

原理与证明

先举个例子吧，求不定方程 1234x+4321y=1 的整数解。
首先求(1234,4321)，过程如下：

$$\displaystyle (1234,4321)=(1234,619)=(615,619)=(615,4)=(3,4)=(3,1)=(0,1)=1$$

我们得到了(1234,4321)=1。接下来用扩展欧几里德算法可以倒着推回去：

$$1=1- \underline 0$$

$$= 1-(3-3 \ast 1) = -3-2 \ast \underline 1$$

$$= (4-2 \ast 3)-3 = 4-3 \ast \underline 3$$

$$= 4 - (615-153 \ast 4) = 154 \ast \underline 4 - 615$$

$$= 154 \ast (619 - 615) - 615 = 154 \ast 619 - 155 \ast \underline {615}$$

$$= 154 \ast 619 - 155 \ast (1234 - 619) = 309 \ast \underline {619} - 155 \ast 1234$$

$$= 309 \ast (4321-3 \ast 1234) -155 \ast 1234 = 309 \ast \underline {4321} -1082 \ast \underline {1234}$$

所以这一组特解就是：x=-1082, y=309。按照这样的思路，前面的程序就不难理解了。先递归求x和y，再把x“复原”。

来自：https://skywt.cn/posts/euclidean-algorithm/

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参考

查数学知识的时候才意识到百度百科是多么地垃圾……

辗转相除法 - 维基百科，自由的百科全书
扩展欧几里得算法 - 维基百科，自由的百科全书
扩展欧几里德算法详解 - CSDN博客
欧几里德与扩展欧几里德算法 - jumping_frog - 博客园
欧几里德算法的扩展-求解不定方程 - void-man - 博客园
数论初步:辗转相除法和扩展欧几里得 - CSDN博客