2023.07.03 在研究OTFS的过程中，不得不与目前的老大哥OFDM进行对比，在这过程中，发现自己对于OFDM调制方式的理解还浮于表面，因此给自己挖个坑，建立此帖，不定期更新，记录一下对于OFDM从无到有的理解，欢迎大家一起学习交流。
前言
研究OTFS的过程中，免不了需要与OFDM进行比较，在这一过程中，难免会产生以下疑问，比如：为什么在高移动性场景下OFDM误码性能很差？尽管OFDM具有许多缺点比如PAPR高OOB泄露，在4G、5G甚至埃隆马斯克的星链中得到了广泛应用？它们是如何规避这些不足的？……如果你也有这些疑问，请耐心看下去吧，祝你有一个愉快的学习旅程~
一、如何理解OFDM中的"O"?
OFDM (Orthogonal frequency-division multiplexing, 正交频分复用) 是一种多载波调制技术。其核心思想是将宽频率载波划分成多个带宽较小的正交子载波，如下图所示，并使用这些正交子载波发送及接收信号。因此，”O“主要表示子载波间具有正交性，那么如何理解其正交性呢？与FDM相比其优势是什么呢？其中的数学原理又是什么呢？请继续往下看（doge）
1.1 子载波正交性的意义
1.1.1 子载波的正交性
1.1.2 举个栗子：OFDM信号的接收
1.2 如何实现子载波的正交性
1.2.1 如何实现多载波信号的发射——神奇的IFFT
1.3 从FDM到OFDM
1.4 从频域理解OFDM
一直不太理解：从频域来看为什么OFDM是多个sinc函数叠加的形式？（比如像下图这样子）
从时域来看（此时只研究单个子载波），调制为某个正弦载波信号与一个码元波形（就是数字基带传输的矩形波，如NRZ等，可以看成是某个门函数）的乘积；将上述调制过程转到频域（傅里叶变化如下），频域上体现的是对sinc函数的搬移。
1.5 从DFT到FFT
在数字信号处理领域中，离散傅里叶变换（DFT）与数字滤波是功能强大的两种变换，DFT是用来分析离散信号序列（可以理解为连续信号在时域周期采样得到的一组值）的谐波、频率和内容的一套数学方法，其表达式可以写成：
X ( m ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − j 2 π n m / N (2) X\left(m\right)=\sum_{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-j2\pi nm/N}\tag{2} X(m)=n=0∑N−1x(n)e−j2πnm/N(2)
接着将拆成奇、偶两部分：
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 26: …{n=0}^{(N/2)-1}}̲x\left(n\right)…
将公式第二部分中相位角为常数的部分提到前面，整理可得：
X ( m ) = ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n ) W N 2 n m + W N m ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n + 1 ) W N 2 n m (4) X(m)=\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n)W_{N}^{2nm}+W_{N}^{m}\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n+1)W_{N}^{2nm}\tag{4} X(m)=n=0∑(N/2)−1x(2n)WN2nm+WNmn=0∑(N/2)−1x(2n+1)WN2nm(4)
其中， W N = e − j 2 π / N W_{N}=e-j2\pi/N WN=e−j2π/N，由于 W N 2 = e − j 2 π 2 / N = e − j 2 π / ( N / 2 ) W_{N}^{2}=e^{-j2\pi2/N}=e^{-j2\pi/(N/2)} WN2=e−j2π2/N=e−j2π/(N/2)，因此可以用 W N / 2 W_{N/2} WN/2代替 W N 2 W_{N}^{2} WN2，继续整理可得：
X ( m ) = ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n ) W N / 2 n m + W N m ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n + 1 ) W N / 2 n m (5) X(m)=\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n)W_{N/2}^{nm}+W_{N}^{m}\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n+1)W_{N/2}^{nm}\tag{5} X(m)=n=0∑(N/2)−1x(2n)WN/2nm+WNmn=0∑(N/2)−1x(2n+1)WN/2nm(5)
从 n n n的范围可以看出与式 ( 2 ) (2) (2)相比减少了一半的计算量。此时，令 m + N / 2 = m m+N/2=m m+N/2=m继续整理可以发现：
X ( m + N / 2 ) = ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n ) W N / 2 m − W N m ∑ n = 0 ( N / 2 ) − 1 x ( 2 n + 1 ) W N / 2 n m (6) X(m+N/2)=\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n)W_{N/2}^{m}-W_{N}^{m}\sum_{n=0}^{(N/2)-1}x(2n+1)W_{N/2}^{nm}\tag{6} X(m+N/2)=n=0∑(N/2)−1x(2n)WN/2m−WNmn=0∑(N/2)−1x(2n+1)WN/2nm(6)
式 ( 6 ) (6) (6)与式 ( 5 ) (5) (5)相比只差一个负号，仅改变旋转因子 W N m W_N^m WNm的符号，并利用 X ( m ) X(m) X(m)的求和结果就可以得到 X ( m + N / 2 ) X(m+N/2) X(m+N/2)。因此，可以用两个 N / 2 N/2 N/2点的DFT得到一个 N N N点的DFT，假设N=8则可以拆成两个4点的DFT进行计算：
依照上述思路，可以将4点的DFT继续拆成两个2点的DFT：
总结：FFT并不是DFT的近似，它是一种减少了必要四则运算数量的DFT，具体而言，FFT严格等于DFT。因此，DFT具有的特点，比如输出对称性，线性，输入振幅，泄露以及扇形损耗，FFT都有与其相同的性质。
1.6 本节参考
[1] 知乎好文：OFDM（正交频分复用）技术
[2] 小白必看：给“小白”图示讲解OFDM的原理
[3] 如何提取信号：直观图解OFDM原理
[4] 数字信号处理（第三版）作者: Richard G.Lyons （理查德 G.莱昂斯） 著 , 张建华 译 , 许晓东 译 , 孔松林 译
二、有空继续更……
三、总结
为了仔细领悟其推导过程，本节关键部分全程本人手写完成，如有不清晰的地方请私信我，我会进行修改与更正，欢迎大家多多批评指正。