1218. 最长定差子序列
题目描述：
给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。
子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列
示例 1：
输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1 输出：4 解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。
示例 2：
输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1 输出：1 解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
示例 3：
输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2 输出：4 解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。
提示：
1 <= arr.length <= 105-104 <= arr[i], difference <= 104
解题思路：
算法思路：
这道题和
300. 最⻓递增⼦序列
有⼀些相似，但仔细读题就会发现，本题的
arr.lenght
⾼达
10^5
，使⽤
O(N^2)
的
lcs
模型⼀定会超时。
那么，它有什么信息是
300. 最⻓递增⼦序列
的呢？是定差。之前，我们只知道要递增，不知道前
⼀个数应当是多少；现在我们可以计算出前⼀个数是多少了，就可以⽤数值来定义
dp
数组的
值，并形成状态转移。这样，就把已有信息有效地利⽤了起来。
1.
状态表⽰：
dp[i]
表⽰：以
i
位置的元素为结尾所有的⼦序列中，最⻓的等差⼦序列的⻓度。
2.
状态转移⽅程：
对于
dp[i]
，上⼀个定差⼦序列的取值定为
arr[i] - difference
。只要找到以上⼀个数
字为结尾的定差⼦序列⻓度的
dp[arr[i] - difference]
，然后加上
1
，就是以
i
为结
尾的定差⼦序列的⻓度。
因此，这⾥可以选择使⽤哈希表做优化。我们可以把「元素，
dp[j]
」绑定，放进哈希表中。甚
⾄不⽤创建
dp
数组，直接在哈希表中做动态规划。
3.
初始化：
刚开始的时候，需要把第⼀个元素放进哈希表中，
hash[arr[0]] = 1
。
4.
填表顺序：
根据「状态转移⽅程」，填表顺序应该是「从左往右」。
5.
返回值：
根据「状态表⽰」，返回整个
dp
表中的最⼤值
解题代码：
class Solution
{
public:
int longestSubsequence(vector<int>& arr, int difference)
{
// 创建⼀个哈希表
unordered_map<int, int> hash; // {arr[i], dp[i]}
hash[arr[0]] = 1; // 初始化
int ret = 1;
for(int i = 1; i < arr.size(); i++)
{
hash[arr[i]] = hash[arr[i] - difference] + 1;
ret = max(ret, hash[arr[i]]);
}
return ret;
}
};873. 最长的斐波那契子序列的长度
题目描述：
如果序列 X_1, X_2, ..., X_n 满足下列条件，就说它是 斐波那契式 的：
n >= 3- 对于所有
i + 2 <= n，都有X_i + X_{i+1} = X_{i+2}
给定一个严格递增的正整数数组形成序列 arr ，找到 arr 中最长的斐波那契式的子序列的长度。如果一个不存在，返回 0 。
（回想一下，子序列是从原序列 arr 中派生出来的，它从 arr 中删掉任意数量的元素（也可以不删），而不改变其余元素的顺序。例如， [3, 5, 8] 是 [3, 4, 5, 6, 7, 8] 的一个子序列）
解题思路：
算法思路：
1.
状态表⽰：
对于线性
dp
，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
i.
以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
ii.
以某个位置为起点，巴拉巴拉。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：
dp[i]
表⽰：以
i
位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓的斐波那契⼦数列的⻓度。
但是这⾥有⼀个⾮常致命的问题，那就是我们⽆法确定 i 结尾的斐波那契序列的样⼦。这样就会导
致我们⽆法推导状态转移⽅程，因此我们定义的状态表⽰需要能够确定⼀个斐波那契序列。
根据斐波那契数列的特性，我们仅需知道序列⾥⾯的最后两个元素，就可以确定这个序列的样⼦。
因此，我们修改我们的状态表⽰为：
dp[i][j]
表⽰：以
i
位置以及
j
位置的元素为结尾的所有的⼦序列中，最⻓的斐波那契⼦
序列的⻓度。规定⼀下
i < j
。
2.
状态转移⽅程：
设
nums[i] = b, nums[j] = c
，那么这个序列的前⼀个元素就是
a = c - b
。我们根
据
a
的情况讨论：
i.
a
存在，下标为
k
，并且
a < b
：此时我们需要以
k
位置以及
i
位置元素为结尾的
最⻓斐波那契⼦序列的⻓度，然后再加上
j
位置的元素即可。于是
dp[i][j] =
dp[k][i] + 1
；
ii.
a
存在，但是
b < a < c
：此时只能两个元素⾃⼰玩了，
dp[i][j] = 2
；
iii.
a
不存在：此时依旧只能两个元素⾃⼰玩了，
dp[i][j] = 2
。
综上，状态转移⽅程分情况讨论即可。
优化点：我们发现，在状态转移⽅程中，我们需要确定
a
元素的下标。因此我们可以在
dp
之
前，将所有的「元素 + 下标」绑定在⼀起，放到哈希表中。
3.
初始化：
可以将表⾥⾯的值都初始化为
2
。
4.
填表顺序：
a.
先固定最后⼀个数；
b.
然后枚举倒数第⼆个数。
5.
返回值：
因为不知道最终结果以谁为结尾，因此返回
dp
表中的最⼤值
ret
。
但是
ret
可能⼩于
3
，⼩于
3
的话说明不存在。
因此需要判断⼀下。
解题代码：
class Solution {
public:
int lenLongestFibSubseq(vector<int>& arr) {
int n=arr.size();
unordered_map<int,int>hash;
vector<vector<int>>dp(n,vector<int>(n,2));
for(int i=0;i<n;i++)
hash[arr[i]]=i;
int ret=2;
for(int j=2;j<n;j++)
{
for(int i=1;i<j;i++)
{
int a=arr[j]-arr[i];
if(a<arr[i]&&hash.count(a))
dp[i][j]=dp[hash[a]][i]+1;
ret=max(ret,dp[i][j]);
}
}
return ret<3?0:ret;
}
};