前言
这是NOIP最后冲刺阶段写的复习性质的博客。
简介
这篇博客包含了Floyd算法的内容。
主要包括：
Floyd求多源最短路
Floyd求无向图最小正环
复习性质的博客。
Floyd求多源最短路
简介
这个东西求最短路的方式比较神奇。进行完一次
这个算法同时支持有向图和无向图。
原理
首先枚举一个中间节点
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}注意，在初始状态下，
如果
i→j 可达：有向边：有一条边从
i 到j 。无向边： 有一条边连接
i 和j 。
那么，
d[i][j] 的值就是这条边的长度。否则，它的长度就是无穷大（以下简称
INF ）。
正确性解释
你打眼一看，这个东西似乎有说不通的地方：
我们在一开始的时候，
如果你只是站在前几个
但是你注意看，这样的操作我们进行了
当然，这只是一个非常笼统的解释。如果你想要更科学的解释，你往下看：
最短路径中的Floyd算法（弗洛伊德算法）的较为严格的冥想证明过程
作者：李均宇（李恒星） 2015.10.31
仍用数学归纳法，假设：
N≤n 时，弗法正确。当
N=n+1 时，假设最新一点最后一点为K ，此时K=n+1 ，三重循环中，我们都把
K 排在循环中的最后一位。现在我们要证明的是，加上新点
K 点后，经过弗法的三重循环，原来的n 点之间仍是最短距离，但是n 点与K 点之间的短离是不是最短的就不知的。如果原来的
n 点的某两点之间最短距是与K 点无关的，显然经过三重循环后，就是最短距了。如果原来的
n 点的某两点之间最短距是经过K 点的，假设P1 ,P2 ,P3 ,······,Pk−1 ,Pk ,Pk+1 ,······,Pm 本应是实边最短距，不是虚边最短距。那么由弗法知，
P1 ,P2 ,P3 ,······,Pk−1 与Pk+1 ,······,Pm 已是连通的最短路了。且Pk−1Pk 与PKPK+1 是原始实边，不是虚边。经过最外层最后一次循环的松驰操作，必能连通
P1 ,P2 ,P3 ,······,Pk−1 ,Pk ,Pk+1 ,······,Pm 。所以得证：加上新点
K 点后，经过弗法的三重循环，原来的n 点之间仍是最短距离，但是n 点与K 点之间的短离是不是最短的就不知的。由于对称性，将
K 点置入内部，把P1 点放到最后一点，原来的循环结果不会变的，所以三重循环后，
K 点与原来的点（除P1 外）的最短距，就可以求出来了。由于对称性，将
K 点置入内部，把P2 点放到最后一点，原来的循环结果不会变的，所以三重循环后，K 点与原来的点（除P2 外，但P1 不除外）的最短距，就可以求出来了。所以
K 点与原来的n 个点的最短距，也就已经求出来的了，仍是原来的三重循环也。这样，弗法就可以较为严格的证明了。
CPP源码
上面已经有了，再放一次没有意义。
Floyd求无向图最小正环
简介
这个东西，GAO♂了好久才弄明白。。。QAQ
主要用途就是对于一个给定的图，求其最小环的长度（环是指从一个节点出发，在路径不重复的情况下能回到这个点的路径，最小环是指环上的路径权值和最小的环）。
那么，这个图的最小环长度就是3。
算法原理
这个就比较难解释了哈。。。
首先来讲，我们先要明确一下我们到底要求什么。我们要求的是最小环的长度，那么我们只要在外面定义一个变量来记录最小环的长度就行了。
同普通的Floyd求最短路的算法是一样的，首先在最外层定义中间节点
由于Floyd算法具有其特殊的性质（在上面的最短路用途中进行了简单证明），因此我们应该确保最短路和最小环的求取保持一致，即同时进行。
int min_loop=INF;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
if(!m[i][k]||!m[k][j]) continue;
min_loop=min(min_loop,m[i][k]+m[k][j]+d[j][i]);
}
}//找最小环
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}//找最短路
}就像这样，不断更新，最终就成功了。。。
正确性证明
这个我认为它的证明跟最短路那个是一样的。。。这里不再“赘述”了。。。其实根本不会证明【滑稽】
CPP源码
咳，上面就是啊。。。
例题
这里带一道裸的题来。。。《winmt长跑》（可能无权限访问）
《winmt长跑》
题目背景
winmt决定绕公园长跑了！公园中有 N 个路口，两个路口之间可能直接有道路相连，道路均为双向道路。
winmt的跑步线路只能是一个回路，不能经过同一条路两次。也就是说，winmt可以任取一处路口出发，依次经过若干个路口，最终回到起点。由于winmt实在不想跑太长的路，于是他想请你帮他求出最优的路线。
题目描述
请你帮他求出最短的跑步路线。
输入输出格式
输入格式：
输入中有多组数据。对于每组数据：
第一行有两个正整数 N， M，分别表示公园中路口的个数和道路的个数，道路均为双向道路。
以下 M 行，每行三个正整数，分别表示一条道路的两端的编号，以及这条道路的长度。 最后以 0 0 结束。
注意：可能有重边。发现重边后，一律覆盖处理，即以最后读进来的边为准。
输出格式：
对于每组数据，输出一行：
如果该回路存在，则输出一个正整数，表示该回路的总长度；否则输出”No solution.”（不要输出引号）
输入输出样例
输入样例#1：
5 6 1 4 1 3 1 10 1 2 16 2 3 100 2 5 15 5 3 20 4 3 1 2 10 1 3 20 1 4 30 0 0输出样例#1：
61 No solution.数据范围及约定
时空限制：
1000ms,512MB 数据规模：
对于30%的数据， n≤12；
对于100%的数据， n≤100，道路长度≤1000，数据总组数不超过10组。
标准的一眼题。直接套用模板就好了。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN=100;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int d[MAXN+5][MAXN+5],m[MAXN+5][MAXN+5];
int n,mm;
int main()
{
while(true)
{
scanf("%d%d",&n,&mm);
if(n==0&&mm==0) break;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
memset(d[i],0x3f,sizeof(d[i]));
memset(m[i],0,sizeof(m[i]));
d[i][i]=0;
}
for(int i=1;i<=mm;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
d[u][v]=d[v][u]=w;
m[u][v]=m[v][u]=w;
}
int res=INF;
for(int k=1;k<=n;k++)
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(!m[i][k]) continue;
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(d[i][j]==INF||!m[k][j]) continue;
res=min(res,d[i][j]+m[i][k]+m[k][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++)
{
d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
}
}
}
if(res==INF) cout<<"No solution."<<endl;
else cout<<res<<endl;
}
return 0;
}
后记
好了讲完了。什么？你不懂？这不赖我。。。。。。
【理直气壮的天使小姐姐】