这期比193稍微简单一点
C - Squared Error
手玩一下：
N = 3 N=3 N=3时
展开得
a 2 + b 2 − 2 a b + b 2 − c 2 − 2 b c + a 2 + c 2 − 2 a c a^2+b^2-2ab+b^2-c^2-2bc+a^2+c^2-2ac a2+b2−2ab+b2−c2−2bc+a2+c2−2ac
每个数平方项都要计算 n − 1 n-1 n−1次
减的那一份可以按枚举一个数来算，发现剩下的项是前缀和
# -*- coding: utf-8 -*-
# @time : 2023/6/2 13:30
# @file : atcoder.py
# @software : PyCharm
import bisect
import copy
import sys
from itertools import permutations
from sortedcontainers import SortedList
from collections import defaultdict, Counter, deque
from functools import lru_cache, cmp_to_key
import heapq
import math
sys.setrecursionlimit(100010)
def main():
items = sys.version.split()
fp = open("in.txt") if items[0] == "3.10.6" else sys.stdin
n = int(fp.readline())
a = list(map(int, fp.readline().split()))
ans = 0
for i in range(n):
ans += a[i] * a[i] * (n - 1)
s = 0
for i in range(n):
ans -= s * a[i] * 2
s += a[i]
print(ans)
if __name__ == "__main__":
main()
D - Journey
纯正的数学题
三个性质：
1.取什么数是无关的，答案只与当前有几个数相关
2.类似马尔科夫随机过程，有自环
每个过程的期望独立，总期望=每个过程的期望之和
3.如图上，点i有 p = ( n − 1 ) / n p=(n-1)/n p=(n−1)/n的概率用1步到下一个点i+1
期望步数= 1 / p 1/p 1/p
证明：设期望= E X EX EX
E X = ( 1 − p ) ( E X + 1 ) + p ( 1 ) EX=(1-p)(EX+1)+p(1) EX=(1−p)(EX+1)+p(1)
得证
# -*- coding: utf-8 -*-
# @time : 2023/6/2 13:30
# @file : atcoder.py
# @software : PyCharm
import bisect
import copy
import sys
from itertools import permutations
from sortedcontainers import SortedList
from collections import defaultdict, Counter, deque
from functools import lru_cache, cmp_to_key
import heapq
import math
sys.setrecursionlimit(100010)
def main():
items = sys.version.split()
fp = open("in.txt") if items[0] == "3.10.6" else sys.stdin
n = int(fp.readline())
ans = 0
for i in range(1, n):
ans += n / i
print(ans)
if __name__ == "__main__":
main()
E - Mex Min
在一个10^6的范围内求是否有数，第一眼的感觉是BIT
但本题不是求是否有数，而是求第一个没有数的位置，可以二分计数count(x)=x
用BIT维护是否有数的数组
要注意一些trick的地方，比如出滑动窗口的数和入窗口的数是同一个数
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
using namespace std;
typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef vector<int> vi;
int n, m;
int a[1500005];
int c[1500005];
int cnt[1500005];
int inline lowbit(int x) {
return x & -x;
}
void add(int x, int val) {
while (x <= n) {
c[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
int get(int x) {
int ret = 0;
while(x > 0) {
ret += c[x];
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
bool check(int x) {
return get(x) == x;
}
int main() {
//freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < n; ++ i) {
scanf("%d", &a[i]);
a[i] ++;
}
for (int i = 0; i < m; ++ i) {
cnt[a[i]] += 1;
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
if(cnt[i]) add(i, 1);
}
int ans = n;
for(int i = 0; i + m - 1 < n; ++ i) {
int lo = 1, hi = n + 1;
while(lo < hi) {
int mi = (lo + hi) / 2;
bool r = check(mi);
if (r) lo = mi + 1;
else hi = mi;
}
ans = min(ans, lo - 1);
// printf("%d\n", ans);
int j = i + m;
if (i + m >= n) break;
cnt[a[i]] --;
cnt[a[j]] ++;
if (a[i] != a[j]) {
if (cnt[a[i]] == 0) add(a[i], -1);
if (cnt[a[j]] == 1) add(a[j], 1);
}
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
F - Digits Paradise in Hexadecimal
在1…N中寻找满足某种条件的数个数，是一个典型的数位dp题。
搜索的时候用bitmask表示搜索状态，但搜索到哪几个数字并不重要，只需要记录搜索到数字的个数即可，这是本题的技巧。
写了一个记忆化搜索，优化一下应该更快。
设dp[pos][c][cap][lead]
pos 当前要搜索的位置
c 当前状态（开始搜索前）不同数的个数
cap 当前搜索前是否抵达上界
lead 当前搜索前是否有非零数
答案为dp[0][0][1][0]
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <iostream>
#include <string>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <cstdlib>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
#define LT(x) (x * 2)
#define RT(x) (x * 2 + 1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef vector<int> vi;
char s[200020];
int a[200020];
int k, n;
ll mod = (ll)(1e9 + 7);
ll dp[200020][17][2][2];
int mem[1 << 17];
int pop_count(int x) {
if (x == 0) return 0;
if (mem[x]) return mem[x];
int ret = 0;
while (x) {
x -= x & -x;
ret++;
}
return mem[x] = ret;
}
ll get(int pos, int st, int cap, int lead) {
int c = pop_count(st);
if (c > k) return 0;
if (pos == n) {
return c == k && lead;
}
if (dp[pos][c][cap][lead] != -1) return dp[pos][c][cap][lead];
int m = cap ? a[pos]: 15;
ll ret = 0;
for (int d = 0; d <= m; ++d) {
int ncap = cap;
if (d < m) ncap = 0;
int nst = st;
if (lead == 0 && d == 0)
nst = st;
else
nst = st | (1 << d);
int nlead = lead;
if (d) nlead = 1;
ret += get(pos + 1, nst, ncap, nlead);
ret %= mod;
}
//printf("%d %d %d %d %lld\n", pos, c, cap, lead, ret);
return dp[pos][c][cap][lead] = ret;
}
int main() {
//freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%s", s);
scanf("%d", &k);
n = strlen(s);
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (s[i] >= '0' && s[i] <= '9') {
a[i] = s[i] - '0';
}
else {
a[i] = s[i] - 'A' + 10;
}
}
memset(dp, 0xff, sizeof(dp));
ll ans = get(0, 0, 1, 0);
printf("%lld\n", ans);
return 0;
}