题目描述
小 Q 同学是一个热爱学习的人,但是他最近沉迷于各种游戏,龙与地下城就是其中之一。 在这个游戏中,很多场合需要通过掷骰子来产生随机数,并由此决定角色未来的命运,因此骰子堪称该游戏的标志性道具。
骰子也分为许多种类,比如 4 面骰、6 面骰、8 面骰、12 面骰、20 面骰,其中 20 面骰用到的机会非常多。当然,现在科技发达,可以用一个随机数生成器来取代真实的骰子,所以这里认为骰子就是一个随机数生成器。
在战斗中,骰子主要用来决定角色的攻击是否命中,以及命中后造成的伤害值。举个例子,假设现在已经确定能够命中敌人,那么 (也就是掷出 个 面骰子之后所有骰子显示的数字之和)就是对敌人的基础伤害。在敌人没有防御的情况下,这个基础伤害就是真实伤害。
众所周知,骰子显示每个数的概率应该是相等的,也就是说,对于一个
面骰子,显示
中每一个数字的概率都是
。
更形式地说,这个骰子显示的数 满足离散的均匀分布,其分布列为
除此之外还有一些性质
的一阶原点矩(期望)为
的二阶中心矩(方差)为
言归正传,现在小 Q 同学面对着一个生命值为 的没有防御的敌人,能够发动一次必中的 攻击,显然只有造成的伤害不少于敌人的生命值才能打倒敌人。但是另一方面,小 Q 同学作为强迫症患者,不希望出现 overkill,也就是造成的伤害大于 的情况,因此只有在打倒敌人并且不发生 overkill 的情况下小 Q 同学才会认为取得了属于他的胜利。
因为小 Q 同学非常谨慎,他会进行 10 次模拟战,每次给出敌人的生命值 以及 overkill 的标准 ,他想知道此时取得属于他的胜利的概率是多少,你能帮帮他吗?
输入格式
第一行是一个正整数
,表示测试数据的组数。
对于每组测试数据,第一行是两个整数
、
,分别表示骰子的面数以及骰子的个数。
接下来
行,每行包含两个整数
、
,分别表示敌人的生命值
以及 overkill 的标准
。
输出格式
对于每组测试数据,输出 行,对每个询问输出一个实数,要求绝对误差不超过 ,也就是说,记输出为 ,答案为 ,若满足 ,则认为输出是正确的。
样例
样例输入
1
2 19
0 0
0 1
0 2
0 3
0 4
0 5
0 6
0 7
0 8
0 9
样例输出
0.000002
0.000038
0.000364
0.002213
0.009605
0.031784
0.083534
0.179642
0.323803
0.500000
数据范围与提示
对于 的数据, , , , ,保证满足 的数据不超过 组。
题解
应用中心极限定理 。中心极限定理 - 维基百科
设随机变量
独立同分布, 且具有有限的数学期望和方差
,
。记
,
,则
。
其中
是标准正态分布的分布函数。
这个定理的含义是: 个独立同分布,且具有有限的数学期望 和方差 的随机变量,他们的平均值的分布函数在 时无限近似于期望为 ,方差为 的正态分布。
考虑到题目要求的精度误差十分宽松,我们考虑在 比较大的时候用正态分布函数的积分来近似答案。
由于正态分布函数的概率密度函数
的不定积分不是初等函数,所以考虑自适应辛普森积分。函数是光滑的,所以误差很小。
有一点需要注意:由于峰比较窄,积分区间比较大的时候可能出现 五处的函数值都几乎为零,但是峰在积分区间内的情况,这会导致答案错误。一种方法是分成若干个小的区间分别进行辛普森积分,第二种方式是只计算 的积分(因为正态分布函数在 外的比率只占不到 ,可以忽略不计), 还有一种方法是直接使用误差函数 直接计算(需要C++11)。
My Code
#include <bits/stdc++.h>
#define pi acos(-1)
#define eps 1e-15
using namespace std;
int n, m;
double f[2][32005], g[2][32005];
void solve1(){
int p = 0, q = 1;
f[p][0] = 1; g[p][0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++){
for(int j = 0; j <= (m - 1) * i; j ++){
double tmp = g[p][min(j, (m - 1) * (i - 1))]; if(j >= m) tmp -= g[p][j - m];
f[q][j] = tmp / m; g[q][j] = f[q][j]; if(j > 0) g[q][j] += g[q][j - 1];
// printf("%d %d %.6lf\n", i, j, f[q][j]);
}
swap(p, q);
}
for(int i = 1; i <= 10; i ++){
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
double ans = g[p][b]; if(a != 0) ans -= g[p][a - 1];
printf("%.6lf\n", ans);
}
}
double mu, sigma, pi2;
inline double sqr(double x) {return x * x;}
inline double F(double x){
// printf("%.10lf %.10lf\n", x, exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma);
return exp(-sqr(x - mu) / 2 / sqr(sigma)) / pi2 / sigma;
}
double cal(double l, double r){
double mid = (l + r) / 2;
return (r - l) / 6 * (F(l) + 4 * F(mid) + F(r));
}
double simpson(double l, double r, double cur){
double mid = (l + r) / 2;
double cl = cal(l, mid);
double cr = cal(mid, r);
// printf("%.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf %.11lf\n", l, r, cl, cr, cur, fabs(cur - cl - cr));
if(fabs(cur - cl - cr) < eps) return cur;
return simpson(l, mid, cl) + simpson(mid, r, cr);
}
void solve2(){
mu = 1.0 * (m - 1) / 2.0 * n;
sigma = sqrt(n * 1.0 * (m * m - 1.0) / 12.0);
//printf("%.6lf %.6lf\n", mu, sigma);
pi2 = sqrt(2.0 * pi);
for(int i = 1; i <= 10; i ++){
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
double l = max((double)a, mu - 3 * sigma);
double r = min((double)b, mu + 3 * sigma);
double ans = 0;
if(l < r) ans = simpson(l, r, cal(l, r));
printf("%.6lf\n", ans);
}
}
int main(){
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--){
scanf("%d%d", &m, &n);
if(n <= 1600){
solve1();
}else{
solve2();
}
}
return 0;
}