定义:设 是个环, 是 的一个非空子集。如果 和 也是 的运算,且 也是个环,则说 是 是的一个子环。在所指运算不混淆时,简称 是 的一个子环。
在介绍环的时候,提到的偶数环是有理数环的子环。
是一个环,判断
的非空子集
是否是
的子环,一般有下面几种方法:
方法一:
1. 对任意
,有
;
2. 对任意
,有
;
3. 对任意
,有
。
方法二:
1.
是
的子群;
2. 对任意
,有
。
方法三:
1. 对任意
,有
;
2. 对任意
,有
。
上面三个方法可行性的证明不难(前面关于群的几篇博文有类似命题,证明思路是一样的),这几个方法可以用来证明下面的命题。
设 都是 的子环,那么他们的交集 也是 的子环。
首先,由环以及子环的定义可知 非空; 作为子环, ,所以, ,从而 非空。进一步的,对任意的 ,应有 ,而 是 的子环,从而对每个 都有 ,根据 的定义,必有 。同理,对任意的 ,应有 ,而 是 的子环,从而对每个 都有 。综上, 是 的子环。
上述命题的证明中,因为 的特殊性, 必然是非空的。现在我们对 做一些限制,并提出生成子环的概念。
是个环, ,做 的子环族
是 的子环
我们把子环 称为 的由元素 生成的子环,记为 。
我们也可以用一个子集来生成一个子环:
是个环,
是
的非空子集,做
的子环族
是
的子环
我们把子环
称为由
生成的子环,记为
。