[动态规划问题] 01背包问题（多阶段决策问题）

题目

思路

1.状态的推导：最初会想到d(S)表示，0->S的最大边权值。但这样的状态，转移时是无序的，也就是无法确定下一个要装的物品i，是否已经被装过。所以应该将状态转移有序化，也就是通过状态就能表现出哪些物品拿了哪些没有。所以状态定义为（i,j），第i层剩余容量为j。
2.状态及指针函数：d(i,j)，处于第i层（前i个物品已经遍历），背包剩余容量为j，这种情况的最大边权（最大重量和）。
3.状态转移方程：

$$d(i,j) = max \left\{ d(i-1,j), d(i-1, j-V[i]) + W[i] \right\}$$
- 最终答案为d(n,C)

4.规划方向问题：本题还有一种做法，将第i层理解为，i,i+1,…,n物品已经遍历，这就是规划方向不同造成的结果。显然现有这种更好。
5.滚动数组。可以将数组d变成一维，让j逆序遍历，就能用一个数组同时存储上一层的和本层的。滚动数组的优点在于大大节省了空间，但缺点是在需要打印最优解的情况。

思路

1.普通方法

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100+10;
const int maxx = 10000+100;
int n, C, V[maxn], W[maxn], d[maxn][maxx];

int main(){
    scanf("%d%d",&C,&n);
    _rep(i,1,n) scanf("%d%d",&V[i],&W[i]);

    _rep(i,1,n)
        _rep(j,0,C){
            d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i-1][j]);
            if (j >= V[i]) d[i][j] = max(d[i][j],d[i-1][j-V[i]] + W[i]);
        }
    printf("%d\n",d[n][C]);

    return 0;
}

2.边读入边计算

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100+10;
const int maxx = 10000+100;
int n, C, V, W, d[maxn][maxx];

int main(){
    scanf("%d%d",&C,&n);

    // 边读入边计算 
    _rep(i,1,n){
        scanf("%d%d",&V,&W);
        _rep(j,0,C){
            d[i][j] = (i == 1 ? 0 : d[i-1][j]);
            if (j >= V) d[i][j] = max(d[i][j],d[i-1][j-V] + W);
        }
    }
    printf("%d\n",d[n][C]);

    return 0;
}

3.滚动数组

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define _for(i,a,b) for(int i = (a); i<(b); i++)
#define _rep(i,a,b) for(int i = (a); i<=(b); i++)
using namespace std;

const int maxn = 100+10;
const int maxx = 10000+100;
int n, C, V, W, d[maxx];

int main(){
    scanf("%d%d",&C,&n);

    // 边读入边计算
    // 并使用滚动数组
    memset(d,0,sizeof(d)); 
    _rep(i,1,n){
        scanf("%d%d",&V,&W);
        for(int j = C; j>=0; j--){  // 逆序枚举j 
            if (j >= V) d[j] = max(d[j],d[j-V] + W);
        }  // 逆序枚举，所以上一层的这两个值，没有被覆盖 
    }
    printf("%d\n",d[C]);

    return 0;
}