１：对"pi"的处理

1：int pi = 3.1415926

2 : const double pi = 4.0 * atan(1.0)

\ tan45度=1

所以 45度换成弧度就是 pi/4

所以反三角函数就是就atan(1.0) 再乘以4就是 pi\

求π的近似值，一般有两个公式，如下所示：

公式①：

题目1) 利用公式①计求π的近似值，要求累加到最后一项小于10^(-6)为止。

#include <stdio.h>
long a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main()
{
	for(;b-c;)f[b++]=a/5;
	for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)
	for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);
}

运行结果：

pi的值为：3.141594

上面的代码，先计算π/4的值，然后再乘以4，s=-s; 用的很巧妙，每次循环，取反，结果就是，这次是正号，下次就是负号，以此类推。

②

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int main(){
 
 int r;
 
 double PI,s;
 
 scanf("%d",&r);
 
 PI= atan(1.0)*4;
 
 s = PI*r*r;
 
 printf("%.7f",s);
 
  return 0;
 
 
 
}

这里的atan()是反正切函数，正切函数tan(1)=π/4,所以pi=4.0*atan(1.0)=3.14159......

③

“外星人计算圆周率的程序”原理及性能分析

#include <stdio.h>
long a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;
main()
{
	for(;b-c;)f[b++]=a/5;
	for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)
	for(b=c;d+=f[b]*a,f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);

先来说一下这个程序具体实现的过程吧，这部分也是对那篇帖子内容的改编。（像我这样说明出处多好，总有些人转载之后不说出处）

程序利用了下面这个数学公式：

至于这个公式是怎么来的，后文会详细分析。

这个程序之所以被称为“外星人程序”，就是因为其短小，而且较难读懂。所以如果想要分析这段代码，首先要把这段代码处理一下，让它看起来清晰一些。

#include <stdio.h>
long a= 10000,b,c= 2800,d,e,f[ 2801],g;
main()
{
for( int i= 0;i<c;i++) //将数组中的变量都赋值为2000
{
f[i]=a/ 5;
}
while(c)
{
b=c; //做分子
d= 0;
g= 2*c; //做分母
while(b)
{
d=d+f[b]*a;
g--;
f[b]=d%g; //保留余数
d=d/g;
g--;
b--;
if(b)
d*=b;
}
c-= 14;
printf( "%.4d",e+d/a);
e=d%a;
}
}

这样看起来结构上就清晰很多了。

我们每次都想输出4位数，然而圆周率只有一位整数，所以就在给数组赋值的时候前移三位，使得第一次运算的时候我们就可以得到4位整数。这也是我们把数组中的变量赋值为2000而不是2的原因。在之后的每次循环中d加上的都是f[b]*a,而a是10000，也就是说将f[b]前移四位，这也是为了让我们读取接下来的四位小数。

或许对有些人来说从这段代码看出那个公式还是有些困难，对公式进行一下变形之后就会容易很多：

可以看到，在程序开始运行的时候，b被赋值为2800，g被赋值为2*2800=5600，所以在g第一次参与运算时，g的值为5600-1=2*2799+1，b第一次参与运算时的值为2799，所以第一次循环恰如上面公式中最小的括号所示，是2799/（2*2799+1），当进行下一次循环时，就用之前得出来的值加上2000再乘上2798/（2*2798+1）。即while(b)中的每一循环都是之前的结果加上2000再向外拓展一层括号。

由于只需要精确到前800位，所以2800次迭代就可以满足所需要的精确度。

当然，在C语言中是不存在能够精确到小数点后800位的数据类型，所以在计算的时候需要用高精度计算的方法。while(c)中的每次循环都将数组中剩余的数据（即之前除以分母时的余数）前移四位，这样可以得到接下来的四位小数。当然，在运算的时候可能会出现进位的现象，即d/a是大于0的情况，所以要将这个部分加到之前保留的四位数据中，即每次输出的是e+d/a.

在输出那里%.4d的意思是输出4位整数，即若整数少于四位时，从高位开始将缺少的位补全为0。这个的作用在那篇帖子和很多博文中解释的都是输出的整数不止4位的时候取前四位输出，并把后四位保留到e中。这是错误的。%.4d没有截取最高四位的功能，如果整数的位数大于等于4，输出的会是整数本身，而当整数不足4位时它才会起作用。这里之所以要用%.4d，是因为e是d对a的取余，但这个余数可能小于1000，如果直接输出%d就会导致小数中一些0的缺失。所以要用0进行占位，即%.4d是每次都输出4位整数的保障。

至于c的作用，帖子里面和其他的博文基本上都忽略掉了。在这里c的步长为14，即每次运算都舍弃掉最后的14项，这样可以保证整个运算过程的精确。若c的步长过小，则会因为出现冗余导致误差；若c的步长过大，则会因为忽略掉不该忽略的项而导致误差。在原帖中说这个对精确度没有影响，这也是不对的。不是对精确度没有影响，而是它的影响不足以影响到前800位小数。如果步长为1，最多只能精确到九百多位；步长为14的时候，则可以保证前16275位小数的准确程度，这也是仅通过c的改变能达到的最高的精确度。一般来讲，步长过大比步长过小的精确度会高一些。具体会在后面的性能分析中给出详细的分析。

程序实现的过程大体上就是这样，下面说一下帖子和博文普遍回避的两个问题：

1.那个计算圆周率的公式是怎样得来的。

2.这个程序的性能如何？究竟能达到多高的精确度。

一、公式推导

先把这个公式做一下变形：