bsgs大步小步算法及其扩展 & SPOJ Power Modulo Inverted

非常不错的一篇博客 http://blog.miskcoo.com/2015/05/discrete-logarithm-problem

baby step giant step

用来解

$$a^x \equiv b (mod~p),x是自然数$$
一类的方程 $O(\sqrt p)$

其实想法也比较简单，对于a,p互质的情况：
定一个值$m = \sqrt p$，x可以写为%m下的表达形式： $Am + r$。
把方程写为$a^{Am} \equiv b \cdot {(a^r)}^{-1} (mod~p)$
小步： 因为A与r的范围都是$\sqrt p$的，先预处理出所有$b\cdot {(a^r)}^{-1}$的值，hash存下。

大步： 从0到m枚举A，
若$a^{Am}=b\cdot {(a^r)}^{-1},r\in [0,m)$，说明存在$x=Am+r$。
若需要最小整数解则r应该取最小值。

一个小优化

可以将$Am+r$的改为$Am-r$的形式，这样不需要处理逆元，但是还是需要用到逆元的存在！
若$a^{Am}=b\cdot {(a^r)},r\in [0,m)$，说明存在$x=Am-r$。
注意此时A的枚举范围从0..m改为1..m+1。
此时需要特判b=1的情况，否则因为A是从1开始枚举的，而$r<m$，这样是发现不了x=0的解的。

扩展BSGS

其实也不是什么扩展，只是处理了a,p不互质的情况
记$g=(a,p)$
将$a^x \equiv b (mod~p)$写为等式，即$a\cdot a^{x-1} - kp = b$
由exgcd知识，b不是g的倍数时无解。
等式两边同除以g，可以得到

$$(a/g) \cdot a^{x-1} \equiv b/g (mod~p/g)$$

若$(a,p/g)=1$，这种形式也可以用bsgs解，方法是显然的，甚至不用处理逆元，只需要将大步与小步的初始值改变即可。
最后将解加一就是原方程的解了。

注意并不是将(a,p)变为(a/g,p/g)，所以可能上述过程需要做多次，将a/g的积处理一下即可。
注意为了防止最终要解的方程出现负指数，上述过程中注意判断x=0的解。

具体实现见标吧，上面推荐的那篇博客。

Note

mod 1的情况需要特判
b=1的情况需要特判
exbsgs过程中注意判断x=0的解

下面是给自己参阅(co)的标
值得一提的是手打hash要比map快上1/2左右

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll y,z,p;
ll ksm(ll x,ll y,ll m) {
    ll ret=1;
    for (; y; y>>=1) {
        if (y&1) ret=ret*x%m;
        x=x*x%m;
    }
    return ret;
}
ll gcd(ll x,ll y) {return y==0?x:gcd(y,x%y);}
map<ll,ll> ha;

ll exbsgs(ll a,ll b,ll p) {
    a%=p,b%=p;
    if (b==1||p==1) return 0; //1
    ll cnt=0;
    ll t=1;
    for (ll g=gcd(a,p); g!=1; g=gcd(a,p)) {
        if (b%g) return -1;
        p/=g,b/=g,t=t*(a/g)%p;
        cnt++;
        if (b==t) return cnt;//2
    }

    ha.clear();
    ll m=sqrt(p)+1;
    for (ll i=0,s=b; i<m; i++,s=s*a%p) {
        ha[s]=i;
    }

    ll step=ksm(a,m,p);
    for (ll i=1; i<=m+1; i++) {
        t=t*step%p;
        if (ha.count(t)) return cnt + i*m - ha[t];
    }
    return -1;
}

int main() { 
    cin>>y>>p>>z;
    for (; ; cin>>y>>p>>z) {
        if (y==0 && z==0 && p==0) return 0;
        ll ret=exbsgs(y,z,p);
        if (ret==-1) cout<<"No Solution"<<endl;
        else cout<<ret<<endl;
    }
}