机器人位置运动学01—齐次变换矩阵

一、机器人运动学的矩阵表示

1.1 空间点的表示

P可以用它相对于参考坐标系的3个坐标分量来表示： $P=a_{x}i+b_{y}j+c_{z}k$

1.2 空间向量的表示

$P=\begin{bmatrix} a_{x}\\ b_{y} \\ c_{z} \end{bmatrix}$ ，加入一个比例因子w，此时向量可以表示为： $P=\begin{bmatrix} P_{x}\\ P_{y} \\ P_{z} \\ \omega \end{bmatrix}$ ， $a_{x}=\frac{P_{x}}{\omega },b_{y}=\frac{P_{y}}{\omega },c_{z}=\frac{P_{z}}{\omega }$ 。

例1：有一个向量 $P=3i+5j+2k$ ，按如下要求将其表示成矩阵形式：

(1)比例因子为2

(2)将它表示为方向单位向量

解：比例因子为0时，向量为 $P=\begin{bmatrix} 3\\ 5 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，当比例因子为2时，向量为 $P=\begin{bmatrix} 6\\10 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ ，为了将其表示为单位向量，须将其归一化处理，使之长度为1，则可以表示为 $P_{unit}=\begin{bmatrix} 0.487\\0.811 \\ 0.324 \\ 0 \end{bmatrix}$ ，其中 $\sqrt{0.487^{2}+0.811^{2}+0.324^{_2}} =1$ 。

1.3 坐标系在固定参考坐标系原点的表示

位于参考坐标系 $F_{x,y,z}$ 原点的坐标系 $F_{n,o,a}$ ，其每个坐标轴的每个方向均可用相对坐标系的3个方向余弦来表示。即： $F=\begin{bmatrix} nx & ox& ax\\ ny & oy & ay\\ nz& oz& az \end{bmatrix}$ 。

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1.4 坐标系在固定参考坐标系中的表示

要具体描述一个坐标系相对于另一个坐标系的关系，需要坐标系原点的位置和它的坐标系的方向。即，这个坐标系需要由3个表示方向的单位向量和第4个位置向量表示： $F=\begin{bmatrix} nx & ox & ax & px\\ ny & oy & ay &py \\ nz & oz & az & pz\\ 0& 0 & 0 &1 \end{bmatrix}$ 。

例2：如图所示，坐标系 $F$ 的原点位于 $\left ( 3,5,7 \right )$ 的位置，它的 $n$ 轴与 $x$ 轴平行， $o$ 轴相对于 $y$ 轴的角度为 $45^{\circ}$ ， $a$ 轴相对于 $z$ 轴的角度为 $45^{\circ}$ 。则这个坐标系可表示为？

解： $F=\begin{bmatrix} 1\times 1\times cos0^{\circ} & 1\times 1\times cos90^{\circ} & 1\times 1\times cos90^{\circ}&3 \\ 1\times 1\times cos90^{\circ}&1\times 1\times cos45^{\circ} &1\times 1\times cos\left (45+90 \right )^{\circ} &5 \\ 1\times 1\times cos90^{\circ}& 1\times 1\times cos45^{\circ} & 1\times 1\times cos45^{\circ}&7 \\ 0& 0 & 0& 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 3\\ 0 & 0.707 & -0.707 & 5\\ 0 & 0.707 & 0.707 & 7\\ 0& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$n$ 轴垂直于平面 $o$ $a$ ，其余轴类似，所以向量外积为0。 $a$ 轴与 $y$ 轴的夹角为 $135^{\circ}$ ，其余为 $45^{\circ}$ 。

二、齐次变换矩阵

2.1 纯平移变换的表示

纯平移变换即在空间内以不变的姿态运动，在这种情况下，它的方向单位向量保持同一方向不变，所有的改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变换。

相对于固定参考坐标系，新坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量来表示。若用矩阵形式，新坐标系的表示可以通过坐标系左乘变换矩阵得到。即 $T=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0&d_{x} \\ 0 &1 & 0 &d_{y} \\ 0 & 0 &1 & d_{z}\\ 0& 0 &0 &1 \end{bmatrix}$ ，其中 $d_{x} ,d_{y} ,d_{z}$ 是纯平移向量 $d$ 相对于参考坐标系 $x,y,z$ 轴的3个分量。矩阵前3列表示没有旋转运动，最后一列表示平移运动。新坐标系位置为： $F_{new}=\begin{bmatrix} 1 & 0& 0 & d_{x}\\ 0 & 1 & 0 &d_{y} \\ 0&0 & 1 & d_{z}\\ 0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} nx & ox& ax & p_{x}\\ ny & oy & ay &p_{y} \\ nz&az & az & p_{z}\\ 0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} nx & ox& ax & p_{x}+d_{x}\\ ny & oy & ay &p_{y} +d_{y}\\ nz&az & az & p_{z}+d_{z}\\ 0 & 0 &0 &1 \end{bmatrix}$ ，即 $F_{new}=Trans\left ( d_{x} ,d_{y},d_{z}\right )\times F_{old}$ 。

2.2 绕轴纯旋转变换表示

假设坐标系 $F_{noa}$ 位于参考坐标系 $F_{xyz}$ 的原点，坐标系 $F_{noa}$ 绕参考坐标系的 $x$ 轴旋转一个角度 $\theta$ ，再假设旋转坐标系 $F_{noa}$ 上有一点 $p$ 相对于参考坐标系的坐标为 $p_{x},p_{y},p_{z}$ ，相对于运动坐标系的坐标为 $p_{n},p_{o},p_{a}$ 。

如图所示， $p_{x}$ 不随坐标系绕 $x$ 轴的转动而改变，而 $p_{y}$ 和 $p_{z}$ 却改变了，即： $p_{x}=p_{n},p_{y}=l_{1}-l_{2}=p_{o}cos\theta -p_{a}sin\theta ,$ $p_{z}=l_{3}+l_{4}=p_{o}sin\theta +p_{a}cos\theta$ 。写成矩阵形式为： $\begin{bmatrix} p_{x} \\ p_{y} \\ p_{x} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_{n}\\ p_{o} \\ p_{a} \end{bmatrix}$ 。简记为 $p_{xyz}=Rot\left ( x,\theta \right )\times p_{noa}$ 。旋转矩阵的第一列表示相对 $x$ 轴的位置，其值为 $1,0,0$ ，表示沿 $x$ 轴的坐标没有改变。同理可得绕 $y$ 轴和 $z$ 轴的旋转矩阵： $Rot\left ( y,\theta \right )=\begin{bmatrix} cos\theta & 0 & sin\theta\\ 0 & 1& 0\\ -sin\theta & 0 & cos\theta \end{bmatrix}$ ， $Rot\left ( z,\theta \right )=\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta & 0\\ sin\theta & cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ 。

为了便于理解不同坐标系之间的关系，可以将其记为 $^{U}\textrm{T}_{R}$ （读作坐标系 $R$ 相对于坐标系 $U$ 的变换），将 $p_{noa}$ 表示为 $^{R}\textrm{P}$ （读作 $P$ 相对于坐标系 $R$ ），将 $P_{xyz}$ 表示为 $^{U}\textrm{P}$ ，则可简记为 $^{U}\textrm{P}=^{U}\textrm{T}_{R}\times ^{R}\textrm{P}$ 。

2.3 复合变换的表示

复合变换是由固定参数坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移变换和绕轴旋转变换所组成的。任何变换都可以分解为一定顺序的一组平移和旋转变换，这个变换顺序很重要，如果颠倒两个依次变换的顺序，结果将会完全不同。

例3：假设坐标系 $F_{noa}$ 相对于参考坐标系 $F_{xyz}$ 依次进行下面3个变换：

(1)绕 $x$ 轴旋转 $\alpha$ 度；

(2)接着分别沿 $x,y,z$ 轴平移 $\begin{bmatrix} l_{1} & l_{2} &l_{3} \end{bmatrix}$ ；

(3)最后绕 $y$ 轴旋转 $\beta$ 度。

解：第1次变换后， $p_{1,xyz}=Rot\left ( x,\alpha \right )\times p_{noa}$ ，

第2次变换后， $p_{2,xyz}=Trans\left ( l_{1} ,l_{2},l_{3}\right )\times P_{1,xyz}=Trans\left ( l_{1} ,l_{2},l_{3}\right )\times Rot\left ( x,\alpha \right )\times p_{noa}$ ，

第3次变换后， $p_{xyz}=p_{3,xyz}=Rot\left ( y,\beta \right )\times p_{2,xyz}=Rot\left ( y,\beta \right )\times Trans\left (l_{1}, l_{2},l_{3} \right )$ $\times Rot\left ( x,\alpha \right )\times p_{noa}$ 。

2.4相对于旋转坐标系的变换

有时候也需要进行相对于运动坐标系或当前坐标系的轴的变换。这时需要右乘变换矩阵。

例4：坐标系 $B$ 先绕参考坐标系 $x$ 轴旋转 $90^{\circ}$ ，然后沿当前坐标系的 $a$ 轴平移3个单位，然后再绕参考坐标系 $z$ 轴旋转 $90^{\circ}$ ，最后沿当前坐标系 $o$ 轴平移5个单位。

(1)写出描述该运动的方程。

(2)求固连在坐标系中的点 $p\left ( 1,5,4 \right )^{T}$ 相对于参考坐标系的最终位置。

解：(1) $^{U}\textrm{T}_{B}=Rot\left ( z,90 \right )Rot\left ( x,90 \right )Trans\left ( 0,0,3 \right )Trans\left ( 0,5,0 \right )$

(2) $^{U}\textrm{p}=^{U}\textrm{T}_{B}\times ^{B}\textrm{p}=\begin{bmatrix} 0 & -1& 0& 0\\ 1 &0 & 0 &0 \\ 0& 0 & 1& 0\\ 0& 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 &0 & -1 &0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0& 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0& 1&0 & 0\\ 0& 0& 1&3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 &0 \\ 0 &1 & 0 &5 \\ 0 & 0& 1& 0\\ 0& 0 &0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 5 \\4 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7\\ 1 \\ 10 \\ 1 \end{bmatrix}$

机器人位置运动学01—齐次变换矩阵

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