浅谈逆元及其求法（费马小定理&Exgcd）

前言

逆元其实是一个很小的知识点，但是在数论中也起到了比较大的作用。这篇文章主要是介绍逆元，和它在一些其他方面的应用。可能我在证明的过程中会出现一些错误，如果你在看这篇文章的过程中发现了问题，欢迎在私信或评论中指出！

What is 逆元

我们想一个问题，如果我们要求在modm下求a/b的答案，这显然很简单。但是当b变到很大的时候，朴素的做法就会“砰”的一声爆炸！！如何解决这类问题呢，我们可以试着将出发转化为乘法。
我们假设c为b在modm意义下的逆元。
则$b·c\equiv1(modm)$，$c·b=1(mod m)$
所以

$$a/bmodm$$
$$=a/b·1modm$$
$$=a/b·b·cmodm$$
$$=a·cmodm$$
所以 $a/bmodm$就转换成了 $a·cmodm$

如何求逆元

1)费马小定理；
首先再说这个方法前，我们先回顾一下费马小定理。费马小定理为$a^p\equiv{a}(modp)$($p$为素数，且$a$与$p$互质)。
则可以证明：

$$a^p\equiv{a}(modp)$$ $$a·a^{p-1}\equiv{a}(modp)$$ $$a^{p-1}\equiv1(modp)$$ $$a·a^{p-2}\equiv1(modp)$$
所以对于一个数 $a$，其在 $modp$意义下的逆元为 $a^{p-2}$。
用 快速幂求解，时间复杂度是 $O(logn)$

2)扩展欧几里得算法；
首先我们还是要分析一个问题，假设我们有一个这样的式子$4X\equiv1(mod 7)$，那么我们是否可以把式子转化为$4X=7K+1$。于是乎我们就可以把式子转换为$4X-7K=1$，我们就可以通过扩展欧几里得的方法来找出整数解$X$和$K$，最后$X$就是在$mod7$意义下与$4$的逆元。这种方法的时间复杂度依旧是$O(logn)$。

后记

其实逆元真的很简单，这篇文章只是一个证明及总结，代码我没有放，但是非常的好写。