看图轻松理解数据结构与算法系列(二叉搜索树)

前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各种堆、各种队列、各种列表、各种树、各种图、各种排序等等几十篇的样子。

关于树

对于树的数据结构大家都了解，只是树的类型有很多，所以可能又会对树产生一种陌生感。树其实就是由有限n(n>=1)个节点组成的一个具有层次关系的集合，它看起来像一棵倒挂的树，所以称之为“树”。

树的特点

每个节点有若干个或0个子节点；
根节点没有父节点；
每一个非根节点有且只有一个父节点；
每个子节点可以分为多个不相交的子树；

二叉搜索树

二叉搜索树(Binary Search Tree，简写BST)，又称为二叉排序树，属于树的一种，通过二叉树将数据组织起来，树的每个节点都包含了健值 key、数据值 data、左子节点指针、右子节点指针。其中健值 key 是最核心的部分，它的值决定了树的组织形状；数据值 data 是该节点对应的数据，有些场景可以忽略，举个例子，key 为身份证号而 data 为人名，通过身份证号找人名；左子节点指针指向左子节点；右子节点指针指向右子节点。

二叉搜索树特点

左右子树也分别是二叉搜索树。
左子树的所有节点 key 值都小于它的根节点的 key 值。
右子树的所有节点 key 值都大于他的根节点的 key 值。
二叉搜索树可以为一棵空树。
一般来说，树中的每个节点的 key 值都不相等，但根据需要也可以将相同的 key 值插入树中。

插入操作

如果为空树则将插入节点作为根节点。
如果不为空树则从根节点开始，比较插入节点与根节点的 key 值，值相同则不做任何处理直接返回，大于则继续比较右子节点R，小于则继续比较左子节点L。
右子节点R与插入节点比较，插入节点的 key 值大的话则继续往R节点的右子节点比较，小于的话则继续往R节点左子节点比较。
以此类推不断往下寻找，直到找到左子节点指针或右子节点指针为空的节点，将插入节点放进去。

对于下面这棵树，插入D和H，

创建D节点并与根节点比较，

D 小于 E，于是往左子节点继续比较，

D 大于 C，应该往右子节点方向，而此时 C 节点的右子节点指针为空，D 节点可以放置进去。

同样的，对于 H 节点，先创建 H 节点并与根节点比较，

H 大于 E，于是往右子节点继续比较，

H 大于 G，应该往右子节点方向，而此时 G 节点的右子节点指针为空，H 节点可以放置进去。

插入顺序性

二叉搜索树的形状与节点插入顺序不同而可能不同，比如对于A B C D E F G H这些节点集，按E C A B D G F H顺序插入则为，

而如果调换前面两个节点，按照C E A B D G F H顺序插入则如下图，形状差别还是挺大的，

极端情况下，按照A B C D E F G H顺序插入，则为，

查询操作

则从根节点开始，比较查询节点与根节点的 key 值，值相同则表示找到该节点，直接返回，大于则继续往右子节点R查找，小于则继续往左子节点L查找。
右子节点R与查询节点比较，查询节点的 key 值大的话则继续往R节点的右子节点查找，小于的话则继续往R节点左子节点查找。
以此类推不断往下寻找，直到找到节点的 key 值与查询节点的相同，则表示查找成功，如果最终找不到则说明不存在该节点。

对于下图的树查找 key 值为“B”和“G”的节点，

“B”与根节点的 key 值比较，

“B”小于“E”，往左子节点继续寻找，

“B”小于“C”，往左子节点继续寻找，

“B”大于“A”，往右子节点继续寻找，两者相等，找到。

继续查询 key 值为“G”的节点，与根节点比较，

“G”大于“E”，往右子节点，两者相等，找到。

删除操作

删除操作分三种情况进行，

如果删除的节点为叶子节点，即它的左子节点指针和右子节点指针都为空时，则可以直接删掉该节点，并不会影响整棵树的结构。
如果删除的节点只有一个子节点(左子节点或右子节点)，则直接将子节点提升到被删除的节点位置。
如果删除的节点有两个子节点，此时需要找到删除节点的中序后继或中序前驱来填补删除节点，中序后继其实就是所有大于删除节点中最小的那个，而中序前驱就是所有小于删除节点中最大的那个，因为二叉搜索树经过中序遍历后是一个递增序列，所以后继就是删除节点的后面那个节点，大于且大得最少的那个，比如1 2 3 4 5中4就是3的后继。前驱就是删除节点前面那个节点，比如1 2 3 4 5中2就是3的前驱。