题意
给一个n*n的矩阵,求最大子矩阵和。
我的想法
这种子矩阵和的问题一般都是用个前缀和来求,一算复杂度O(n^4),一下子没了头绪。
其实这题不用前缀和。
题解
DP
我们枚举st,ed两行,把其间的行全部压缩成一行,求以st和ed为两边的最大子矩阵和的问题,就转为求这个和数组的最大子串。
求一个序列的最大子串和很简单,作为基础知识应该懂的。
这样做的时间复杂度为O(n^3)。
小结
这题巧就巧在把二维降成了一维的降维简化思想,用已经会了的知识来解决新题目。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110;
int n,ans=0;
int a[maxn][maxn];
int s[maxn];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
}
for(int st=1;st<n;st++)
{
memset(s,0,sizeof(s));
for(int ed=st;ed<=n;ed++)
{
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]+=a[ed][i];//s[i]表示第i列st~ed行的数的和
int mx=0,tmp=0;
for(int i=1;i<=n;i++)//求一维的最大子串和
{
if(s[i]<0) mx=max(mx,tmp);
tmp+=s[i];
if(tmp<0) tmp=0;
}
mx=max(mx,tmp);
ans=max(ans,mx);
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}