【定义】
生成函数即母函数，是组合数学中尤其是计数方面的一个重要理论和工具。生成函数普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数，ACM应用其中普通型用的比较多，其次就是指数母函数，下面我们对这两个讲解。形式上说，普通型生成函数用于解决多重集的组合问题，而指数型母函数用于解决多重集的排列问题。母函数还可以解决递归数列的通项问题（例如使用母函数解决斐波那契数列的通项公式），这是后话。
具体理解：https://blog.csdn.net/matrix67/article/details/4780458
我们下面主要介绍它的简单理解和ACM中的应用。
参考：https://blog.csdn.net/xiaofei_it/article/details/17042651#comments
普通型母函数
公式
将任意一个序列a0,a1,a2,a3,⋯ an以一个函数的方式联系起来
G(x)=a0x0+a1x1+a2x2……+anxn
则称G(x)称为序列的生成函数
普通型母函数可以解决多重集的组合问题。
应用
母函数通常解决类似如下的问题：
给5张1元，4张2元，3张5元，要得到15元，有多少种组合？
某些时候会规定至少使用3张1元、1张2元、0张5元。
某些时候会规定有无数张1元、2元、5元。
解题过程
解题时，首先要写出表达式，通常是多项的乘积，每项由多个x^y组成。如(1+x+x^2)(1+x^4+x^8)(x^5+x^10+x^15)。
通用表达式为
(x^(v[0]*n1[0]) + x^(v[0]*(n1[0]+1))+x^(v[0]*(n1[0]+2))+...+x^(v[0]*n2[0]))
(x^(v[1]*n1[1])+x^(v[1]*(n1[1]+1))+x^(v[1]*(n1[1]+2))+...+x^(v[1]*n2[1]))
...
(x^(v[K]*n1[K])+x^(v[K]*(n1[K]+1))+x^(v[K]*(n1[K]+2))+...+x^(v[K]*n2[K]))
K对应具体问题中物品的种类数。
v[i]表示该乘积表达式第i个因子的权重，对应于具体问题的每个物品的价值或者权重。
n1[i]表示该乘积表达式第i个因子的起始系数，对应于具体问题中的每个物品的最少个数，即最少要取多少个。
n2[i]表示该乘积表达式第i个因子的终止系数，对应于具体问题中的每个物品的最多个数，即最多要取多少个。
对于表达式(1+x+x^2)(x^8+x^10)(x^5+x^10+x^15+x^20)，v[3]={1,2,5}，n1[3]={0,4,1}，n2[3]={2,5,4}。
解题的关键是要确定v、n1、n2数组的值。
通常n1都为0，但有时候不是这样。
n2有时候是无限大。
之后就实现表达式相乘，从第一个因子开始乘，直到最后一个为止。此处通常使用一个循环，循环变量为i。每次迭代的计算结果放在数组a中。计算结束后，a[i]表示权重i的组合数，对应具体问题的组合数。
循环内部是把每个因子的每个项和a中的每个项相乘，加到一个临时的数组b的对应位（这里有两层循环，加上最外层循环，总共有三层循环），之后就把b赋给a。
这些过程通常直接套用模板即可。
通用模板
下面我直接给出通用模板：
//a为计算结果，储存系数，即方案数，b为中间结果。
int a[MAX],b[MAX];
//初始化a
memset(a,0,sizeof(a));
a[0]=1;
for (int i=1;i<=n;i++)//n代表多项式数目,循环每个式子
//k就是第i个表达式前面那个式子里的第k个变量，如：(1+x)(1+x^2)(1+x^3)，
//a[k]先指示的是1和x的系数，i=2执行完之后变为（1+x+x^2+x^3）(1+x^3)，
//这时候a[k]应该指示的是合并后的第一个括号的四个变量的系数
{
memset(b,0,sizeof(b));
for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=P;j++)//j代表下一个加入乘法的多项式，循环每个因子的每一项
for (int k=0;k+j*v[i]<=P;k++) //循环a的每个项，k代表前i个已经乘完的多项式的结果
b[k+j*v[i]]+=a[k]; //把结果加到对应位
memcpy(a,b,sizeof(b));//b赋值给a
}P是可能的最大指数。拿钞票组合这题来说，如果要求15元有多少组合，那么P就是15；如果问最小的不能拼出的数值，那么P就是所有钱加起来的和。P有时可以直接省略。具体请看本文后面给出的例题。
如果n2是无穷，那么第二层循环条件j<=n2[i]可以去掉。
如何提高效率？
用一个last变量记录目前最大的指数，这样只需要在0..last上进行计算。
这里给出第二个模板：
//初始化a，因为有last，所以这里无需初始化其他位
a[0]=1;
int last=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int last2=min(last+n2[i]*v[i],P); //计算下一次的last
memset(b,0,sizeof(int)*(last2+1)); //只清空b[0..last2]
for (int j=n1[i];j<=n2[i]&&j*v[i]<=last2;j++)//这里是last2
for (int k=0;k<=last&&k+j*v[i]<=last2;k++)//这里一个是last，一个是last2
b[k+j*v[i]]+=a[k];
memcpy(a,b,sizeof(int)*(last2+1));//b赋值给a，只赋值0..last2
last=last2;//更新last
}
指数型母函数
参照：https://blog.csdn.net/ftx456789/article/details/79084138
指数型母函数可以解决多重集的排列问题
我们可以利用这个性质来推出一个排列问题的通项
例：红、白、蓝涂色1xnn的方格要求偶数个为白色,问有多少种方案？
解：
列出生成函数
