自控II讨论1-用脉冲串表示采样信号的逻辑、采样器有无传递函数

离散时间信号$f^* (t)$ 用脉冲串表示的逻辑

脉冲串表示的形式：

$$f^* (t) = \sum_{k=- \infty } ^ {\infty } f(kT) \delta(t-kT)$$
一般不会被表示为：

$$\begin{equation} f^*(t) = \begin{cases} f(nT) & t = nT\\ 0 & t \neq nT \end{cases} \end{equation}$$

从控制系统两大所需特征来讨论：

1. 信息

实际离散控制系统中，信号连续，控制器离散。要想实现精准的控制，需要有一种同时处理离散和连续的框架，即拉氏变换。对于含有脉冲信号的脉冲串表达形式，容易写出拉氏变换值：

$$L [f^* (t)] = \sum_{k=- \infty } ^ {\infty } f(kT) e^{-skT}$$

对应的，分段函数，因为其不可积，没办法用拉氏变换表达其信息。

事实上，根据香农采样定理（到底为啥？ mark），两种表示形式都可以进行信号的还原。这里举一下脉冲串表示的还原例子。考察零阶保持器：

$$e_h(t)=\sum _{k = 0} ^ { \infty} e(kT) [ u(t - kT) - u (t - kT - T)]$$
那么直接从时域上看：
$$e_h(t)= e(kT), kT \leq t < k(T+1)$$
把分段函数写成普通函数表达式
$$e_h(t) = \sum _ {k = 0}^{[t/T]+1} e(kT) - \sum_{k=0}^{[t/T]}e(kT)$$

而：

$$\int _0 ^ te^*(t)dt = \sum_{k=0}^{[t/T]}e(kT)$$
即保持函数可以直接写为：
$$e_h(t) = \int _0 ^ t e^*(t)dt - \int _0 ^ {t-T} e^*(t)dt$$

直接通过两个积分器就可以实现信号的复现。

Example：
信号$y = \sin (t) + 1$，采样间隔为$t = 0.5s$。
根据上述公式直接求解复原信号，示意图如下：

代码见最后。

2. 能量

在信息上，虽然两种表现形式均能实现信号复现，但是可以通过前者表达式计算出采样信号的能量，利用后者则不能：

$$E = \int _{-\infty} ^{\infty} e^{*2}(t) dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|e^*(kT)|^2$$

后者无法积分。

小总结： 从控制系统最重要的两方面考虑，更加全面。

采样器有没有传递函数？

采样器的时域表达形式：

$$e ^*(t) = e(t) \sum_{k = -\infty} ^{\infty}\delta(t - kT)$$

答案： 不存在！

最关键的原因： 系统为时变系统，“系统的响应不仅取决于输入信号的形状和系统特性，而且与系统施加到系统的时刻有关。”时变系统不存在传函。